一列绝对可积函数 $f_n$ 一致可积,需要三个条件.
第一个条件是:
$${\sup_n \|f_n\|_{L^1(\mu)} = \sup_n \int_X |f_n|\ d\mu <+\infty}. $$
第二个条件是:
当 ${M \rightarrow +\infty}$ 时,${\sup_n \int_{|f_n| \geq M} |f_n|\ d\mu \rightarrow 0}$.
第三个条件是
${\delta\rightarrow 0}$时, ${\sup_n\int_{|f_n| \leq \delta} |f_n|\ d\mu \rightarrow 0}$.
要注意的是，第一个条件比如下条件要强：
函数列 $f_n$ 被一个绝对可积的函数 $g$ 控制(dominated).
而且第二个条件比如下的条件要强
$$\lim_{M\to\infty}\int_{|f_n|\geq M}|f_n|d\mu=0.$$
第三个条件比如下的条件也要强
$$\lim_{\delta\to 0}\int_{|f_n|\leq\delta}|f_n|d\mu=0.$$