决策单调性 dp

对于一些具有决策单调性的dp题目，我们可以应用斜率优化将复杂度从O（n^2）降到O（n）。

bzoj1010 HNOI2008 玩具装箱toy

题目大意：对于一些一维长度的物品，我们可以将连续的i~j个物品放在一起，费用是（j-i+sigma lk（i<=k<=j）-L）^2，求n个物品最小费用。

思路：对于这类dp题目，我们可以通过进行一系列数学化简，找出其中的斜率，进而斜率优化。我们设sum[i]表示前i件物品的长度和，s[i]为sum[i]+i，dp[i]=dp[j]+(s[i]-s[j]-L)^2。我们取j<k，dp[j,i]-dp[k,i]>0,带入之前的式子，将L+1，将含i的移到右边，含j、k的移到另一边，就会得到((dp[k,i]+sk^2)-(dp[j,i]+sj^2))/(sk-sj)<2(si-L)①，我们设左边=w[k,j]，显然当w[k,j]<右边的时候，k更优。对于j<k<i,w[i,k]<w[k,j]②时，k不可能是之后用到的最优解，所以可以舍弃。我们维护可能用到的最优解，不断的舍弃那些不好的解，就能将复杂度降至O（n）。对于这里涉及两个符号的问题，我们可以统一符号（如上两个式子）。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define maxnode 50005
using namespace std;
long long dp[maxnode]={0},sum[maxnode]={0},q[maxnode]={0},l;
long long getup(int j,int k)
{
    return dp[j]+(sum[j])*(sum[j])-(dp[k]+(sum[k])*(sum[k]));
}
long long getdown(int j,int k)
{
    return (sum[j]-sum[k]);
}
long long getdp(int i,int j)
{
    return dp[j]+(sum[i]-sum[j]-l)*(sum[i]-sum[j]-l);
}
double g(int j,int k)
{
    return getup(j,k)*1.0/(2.0*getdown(j,k));
}
int main()
{
    int n,i,j,head,tail;
    scanf("%d%lld",&n,&l);
    for (i=1;i<=n;++i) 
    {
      scanf("%lld",&sum[i]);
      sum[i]+=sum[i-1];
    }
    for (i=1;i<=n;++i) sum[i]+=(long long)i;
    head=tail=1;q[tail]=0;++l;
    for (i=1;i<=n;++i)
    {
        while(head<tail&& g(q[head+1],q[head]) < 1.0*(sum[i]-l))
          ++head;
        dp[i]=getdp(i,q[head]);
        while(head<tail&& g(i,q[tail]) < g(q[tail],q[tail-1]))
          --tail;
        q[++tail]=i;
    }
    printf("%lld\n",dp[n]);
}

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