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\(ax+by=c,\;x\in \mathbb{Z^+},\;y\in\mathbb{Z^+}\) 成立的充要条件是 \(\gcd(a,b)\mid c\)。
证明
设 \(s=\gcd(a,b)\)，显然 \(s\mid a\)，并且 \(s\mid b\)，
因为 \(x,y\in\mathbb{Z^+}\)，
所以 \(s\mid ax,\;s\mid by\)。
显然要使得之前的式子成立，则必须满足 \(c\) 是 \(a\) 和 \(b\) 的公约数的倍数。
又因为 \(x,y\in\mathbb{Z^+}\)，
所以 \(c\) 必然是 \(a,b\) 最大公约数的倍数。
因此，证得该定理成立。