st表、树状数组与线段树笔记与思路整理

已更新（2/3）：st表、树状数组

st表、树状数组与线段树是三种比较高级的数据结构，大多数操作时间复杂度为O(log n)，用来处理一些RMQ问题或类似的数列区间处理问题。

$一、ST表（$ Sparse Table $）$

$st表预处理时间复杂度O(n log n)，查询O(1)，但$ $不支持在线更改，否则要重新进行预处理。$

$使用一个二维数组：st[i][j]存储i为起点，长度为2 j 的一段区间最值，即arr[i, i + 2 j - 1]。$

具体步骤（以最小值为例）：

将st[i][0]赋值为arr[i];
利用动态规划思想，dp出st[i][j] = min(st[i][j - 1], st[i + 2^{j - 1}][j - 1]) (1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ log₂ n)；
查询时，定义len为log₂(r - l + 1)，区间[l, r]的最小值为min(st[l][len],st[r - 2^len + 1][len])。

总时间复杂度为O(n log n + q)，q为请求数。

代码实现（两个st表分别求最大最小值）：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int stmin[60010][20], stmax[60010][20];
int n, q, arr[60010], minans, maxans;
void init(){
    for(int j = 1 ; j <= n ; j++)stmax[j][0]=stmin[j][0]=arr[j];
    for(int i = 1 ; i <= log2(n) ; i++){
        for(int j = 1  ; j <= n ; j++){
            stmax[j][i] = stmax[j][i-1];
            if(j + (1 << (i-1)) <= n ) stmax[j][i] = max(stmax[j][i], stmax[j+(1<<(i-1))][i-1]);
            stmin[j][i] = stmin[j][i-1];
            if(j + (1 << (i-1)) <= n ) stmin[j][i] = min(stmin[j][i], stmin[j+(1<<(i-1))][i-1]);
        }
    }
}
void query(int l,int r){
    int len = log2(r - l + 1);
    minans = min(stmin[l][len],stmin[r - (1 << len) + 1][len]);
    maxans = max(stmax[l][len],stmax[r - (1 << len) + 1][len]);
}
int main(){
    scanf("%d %d", &n, &q);
    for(int i = 1 ; i <= n  ; i++)
        scanf("%d", &arr[i]);
    init();
    int l,r;
    for(int i = 1 ; i <= q ; i++ ){
        scanf("%d %d", &l, &r);
        query(l, r);
        printf("%d %d\n", minans, maxans);
    }
    return 0;
}

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一、ST表（Sparse Table）

$一、ST表（$ Sparse Table $）$