树的问题小结(最小生成树、次小生成树、最小树形图、LCA、最小支配集、最小点覆盖、最大独立集)

树的定义：连通无回路的无向图是一棵树。

有关树的问题：

1、最小生成树。

2、次小生成树。

3、有向图的最小树形图。

4、LCA（树上两点的最近公共祖先）。

5、树的最小支配集、最小点覆盖、最大独立集。

 

一、最小生成树

解决的问题是：求无向图中边权值之和最小的生成树。

算法有Kruskal和Prim。

Kruskal使用前向星和并查集实现，可以存储重边（平行边），时间复杂度是O(m log m  +  m)，m是边的数量。

Prim使用邻接矩阵建图，不可以存储重边（平行边），如果出现重边，存储的是权值最小的那一条，时间复杂度为O(n*n), n是顶点的数量。使用邻接表建图可能会提高效率。

一般情况下，题目都是比较裸的。难度为易。

 模版:建好图以后，直接调用，输出。

prim

 1 const int maxn=101,INF=0x3f3f3f3f;
 2 int dist[maxn],Map[maxn][maxn],pre[maxn];
 3 //向外延伸的最短边长，记录图信息，记录连接信息
 4 bool p[maxn];//1表示点已经在树的，0表示点在树外
 5 bool f[maxn][maxn];
 6 int Prim(int n)
 7 {
 8     int i,j,k,Min,ans=0;
 9     for(i=2;i<=n;i++)
10     {
11         p[i]=0;
12         dist[i]=Map[1][i];
13         pre[i]=1;
14     }
15     dist[1]=0;
16     p[1]=1;
17     for(i=1;i<n;i++)
18     {
19         Min=INF;
20         k=0;
21         for(j=1;j<=n;j++)
22         {
23             if(!p[j]&&dist[j]<Min)
24             {
25                 Min=dist[j];
26                 k=j;
27             }
28         }
29         if(k==0) return -1;//G不连通
30         ans+=Min;
31         p[k]=1;
32         for(j=1;j<=n;j++)
33         {
34             if(!p[j]&&Map[k][j]!=INF&&dist[j]>Map[k][j])
35             {
36                 dist[j]=Map[k][j];
37                 pre[j]=k;
38             }
39         }
40     }
41     return ans;
42 }

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