约瑟夫（环）问题（Josephus problem）

问题描述：皇帝决定找出全国中最幸运的一个人，于是从全国选拔出 n 个很幸运的人，让这 n 个人围着圆桌进餐，可是怎么选择出其中最幸运的一个人呢？皇帝决定：从其中一个人从 1 开始报数，按顺序数到第 k 个数的人自动出局，然后下一个人从 1 开始报数，数到 k 的人出局……。如此直到最后只剩下约瑟夫一人，然后他就成为全国最幸运的人。请问约瑟夫最初的位置？(注：原问题略显暴力，故自创此趣味题目)

 

分析：把第一个开始报 1 的人标定为 1，然后按报数顺序依次标定其余的人为：2，3，……，n - 1，n。按规则进行淘汰，直到最后剩一个数字，这个数字就是约瑟夫的位置。

解决方案：

1. 模拟法（simulation）

数组模拟，时间复杂度最高为 O(n³) (当k≈n时 ) ，空间复杂度O(n)

 1 /********** 用数组模拟 *************/
 2 void findNext(bool *out, int n, int &curPosition){
 3     if(!out[curPosition]) {
 4         int pNext = (curPosition + 1) % n;
 5         if(!out[pNext])
 6             curPosition = pNext;
 7         else{
 8             curPosition = pNext;
 9             while(out[curPosition])
10                 curPosition = (curPosition + 1) % n;
11         }
12     }else
13     {
14         while(out[curPosition])
15             curPosition = (curPosition + 1) % n;
16     }
17 }
18 int josephus(int n, int k)
19 {
20     if(n < 1 || k < 0) return -1;
21     if(n == 1) return n;
22     bool *out = new bool[n];   /********* 记录是否出局 *********/
23     for(int i = 0; i < n; ++i)
24         out[i] = false;
25     int current = 0;
26     int n2 = n;
27     while(n2 != 1)
28     {
29         int cnt = k;
30         while(--cnt)
31             findNext(out, n, current);
32         out[current] = true;
33         findNext(out, n, current);
34         --n2;
35     }
36     delete[] out;
37     out = NULL;
38     return (current + 1);
39 }

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