欧拉定理、拓展欧拉定理及其应用（欧拉降幂法）

摘要

　　本文主要介绍了数论中的欧拉定理，进而介绍欧拉定理的拓展及应用，结合例题展示如何使用拓展欧拉定理实现降幂取模。

　　在数论中，欧拉定理,（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质定理。了解欧拉定理之前先来看一下费马小定理：

　　　　a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

　　欧拉给出了推广形式

　　　　若n，a为正整数且互质，则欧拉定理、拓展欧拉定理及其应用（欧拉降幂法），其中φ(n)表示小于等于m的数中与n互质的数的数目。可以看出费马小定理是欧拉定理的一种特殊情况。

　　首先看一个基本的例子。令a = 3，n = 5，这两个数是互素的。比5小的正整数中与5互素的数有1、2、3和4，所以φ(5)=4。计算:a^{φ(n)} = 3^4 =81，而81= 80 + 1 Ξ 1 （mod 5）。与定理结果相符。

　　然后使用欧拉定理实现简化幂的模运算。比如计算7^{222}的个位数，实际是求7^{222}被10除的余数。7和10[互素]，且φ(10)=4。由欧拉定理知7^4Ξ1(mod 10)。所以7^{222}=(7^4)^55*(7^2)Ξ1^{55}*7^2Ξ49Ξ9 (mod 10)。于是该7^{222}的个位数就是9。

　　最后将欧拉定理拓展到a和m不互质的情况

欧拉定理、拓展欧拉定理及其应用（欧拉降幂法）

　　下面给出求解一个φ(n)值的求法：

 1 ll euler_phi(ll n) {
 2     ll k = (ll)sqrt(n + 0.5);
 3     ll ans = n;
 4     for(int i = 2; i <= k; i++) {
 5         if(n % i == 0) {
 6             ans = ans / i * (i - 1);
 7             while(n % i == 0)   n /= i;
 8         }
 9     }
10     if(n > 1)   ans = ans / n * (n - 1);
11     return ans;
12 }

　　使用类似筛法的方法计算phi(1)，phi(2)，phi(3)，...phi(n)

 1 const int maxn = 100001;
 2 ll phi[maxn];
 3 void phi_table(ll n) {//计算1到n的欧拉函数值
 4     for(ll i = 2; i <= n; i++)
 5         phi[i] = 0;
 6     phi[1] = 1;
 7     for(ll i = 2; i <= n; i++) {
 8             if(!phi[i]) {
 9                 for(ll j = i; j <= n; j+=i) {
10                     if(!phi[j]) phi[j] = j;
11                     phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
12             }
13         }
14     }
15 }

可以使用如下代码打印出1 到 10 的phi函数值：

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cmath>
 4 using namespace std;
 5 
 6 typedef long long ll;
 7 
 8 ll euler_phi(ll n) {
 9     ll k = (ll)sqrt(n + 0.5);
10     ll ans = n;
11     for(int i = 2; i <= k; i++) {
12         if(n % i == 0) {
13             ans = ans / i * (i - 1);
14             while(n % i == 0)   n /= i;
15         }
16     }
17     if(n > 1)   ans = ans / n * (n - 1);
18     return ans;
19 }
20 
21 const int maxn = 100001;
22 ll phi[maxn];
23 void phi_table(ll n) {//计算1到n的欧拉函数值
24     for(ll i = 2; i <= n; i++)
25         phi[i] = 0;
26     phi[1] = 1;
27     for(ll i = 2; i <= n; i++) {
28             if(!phi[i]) {
29                 for(ll j = i; j <= n; j+=i) {
30                     if(!phi[j]) phi[j] = j;
31                     phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
32             }
33         }
34     }
35 }
36 
37 int main()
38 {
39     
40     for(ll i = 1; i <= 10; i++)
41         printf("%I64d ", euler_phi(i));
42     puts("");
43 
44     phi_table(10);
45     for(ll i = 1; i <= 10; i++)
46         printf("%I64d ", phi[i]);
47     puts("");
48     return 0;
49 }

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