欧拉方程解法--6-11-6-1 ，2-3-1

欧拉方程

形如 $f(x)=x^{n}y^{(n)}+p_{1}x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdot\cdot\cdot+p_{n-1}xy'+p_{n}y$ 的方程（其中 $p_{1},p_{2},\cdot\cdot\cdot,p_{n}$ 为常数），叫做欧拉方程。

$做变换x=e^t或t=lnx,将自变量x换成t,我们有$

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}\frac{dy}{dt}\\\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1}{x^2}(\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt})\\ \frac{d^3y}{dx^3}=\frac{1}{x^3}(\frac{d^3y}{dt^3}-3\frac{d^2y}{dt^2}+2\frac{dy}{dt})\\\frac{d^4y}{dx^4}=\frac{1}{x^4}(\frac{d^4y}{dt^4}-6\frac{d^3y}{dt^3}+11\frac{d^2y}{dt^2}-6\frac{dy}{dt})$

如果采用记号D表示对t求导的运算 $\frac{d}{dt}$ ,那么上述计算结果可以写成

$xy'=Dy$

$x^{2}y''=\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}=(\frac{d^2}{dt^2}-\frac{d}{dt})y=(D^2-D)y=D(D-1)y$
$x^3y'''=\frac{d^3y}{dt^3}-3\frac{d^2y}{dt^2}+2\frac{dy}{dt}=(D^3-3D^2+2D)y=D(D-1)(D-2)y$

一般地，有 $x^ky^{(k)}=D(D-1)\cdot\cdot\cdot(D-k+1)y$
把它代入欧拉方程，便得到一个以t为自变量的c常系数线性微分方程。在求出这个方程的解后，把 $t$ 换成 $lnx$ ,即得原方程的解。

以下以一个在弹性力学中常见的四阶变系数线性微分方程的求解为例

$\frac{d^4f(p)}{dp^4}+\frac{2}{p}\frac{d^3f(p)}{dp^3}-\frac{9}{p^2}\frac{d^2f(p)}{dp^2}+\frac{9}{p^3}\frac{df(p)}{dp}=0$
$令p=x,f(p)=y.$
$则原式为，\frac{d^4y}{dx^4}+\frac{2}{p}\frac{d^3y}{dx^3}-\frac{9}{p^2}\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{9}{p^3}\frac{dy}{dx}=0$

$令x=e^t作自变量代换，有t=lnx,从而\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}\frac{dy}{dt},则x\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}$

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}(\frac{1}{x}\frac{dy}{dt})=-\frac{1}{x^2}\frac{dy}{dt}+\frac{1}{x}\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dt})=-\frac{1}{x^2}\frac{dy}{dt}+\frac{1}{x^2}\frac{d^2y}{dt^2}$

$\frac{d^3y}{dx^3}=\frac{d}{dx}(-\frac{1}{x^2}\frac{dy}{dt}+\frac{1}{x^2}\frac{d^2y}{dt^2})$

$=(\frac{2}{x^3}\frac{dy}{dt}-\frac{1}{x^2}\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dt})-\frac{2}{x^3}\frac{d^2y}{dt^2}+\frac{1}{x^2}\frac{d}{dx}(\frac{d^2y}{dt^2}))$
$=\frac{2}{x^3}\frac{dy}{dt}-\frac{1}{x^3} \frac{d^2y}{dt^2}-\frac{2}{x^3}\frac{d^2y}{dt^2}+\frac{1}{x^3} \frac{d^3y}{dt^3}$
$=\frac{2}{x^3}\frac{dy}{dt}-\frac{3}{x^3} \frac{d^2y}{dt^2}+\frac{1}{x^3} \frac{d^3y}{dt^3}$
$\frac{d^4y}{dx^4}=\frac{d}{dx}(\frac{2}{x^3}\frac{dy}{dt}-\frac{3}{x^3} \frac{d^2y}{dt^2}+\frac{1}{x^3} \frac{d^3y}{dt^3})$
$=-\frac{6}{x^4}\frac{dy}{dt}+\frac{2}{x^3}\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dt})+\frac{9}{x^4}\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{3}{x^3}\frac{d}{dx}(\frac{d^2y}{dt^2})-\frac{3}{x^4}\frac{d^3y}{dt^3}+\frac{1}{x^3}\frac{d}{dx}(\frac{d^3y}{dt^3})$

$=-\frac{6}{x^4}\frac{dy}{dt}+\frac{11}{x^4}\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{6}{x^4}\frac{d^3y}{dt^3}+\frac{1}{x^4}\frac{d^4y}{dt^4}$

$将所求得的\frac{d^ny}{dx^n}的一二三四阶形式替换原式中的\frac{d^ny}{dx^n}的一二三四阶形式$ $转化为特征方程得,\lambda^4-4\lambda^3-4\lambda^2+16\lambda=0\Rightarrow\lambda(\lambda^2-4)(\lambda-4)=0$
$\lambda_{1}=0,\lambda_{2}=2,\lambda_{3}=-2,\lambda_{4}=4.$
$则其对应的通解为\bar{y}=C_{1}+C_{2}e^{2t}+C_{3}e^{-2t}+C_{4}e^{4t}$
$由上文中x=e^t做代换得，\bar{y}=C_{1}+C_{2}x^{2}+C_{3}x^{-2}+C_{4}x^{4}$
$又因为p=x,f(p)=y.所以,f(p)=C_{1}+C_{2}p^{2}+C_{3}p^{-2}+C_{4}p^{4}$