乘法逆元（欧拉函数,欧拉定理,质数筛法）

如果$ax{\equiv}1(mod\,p)$，且a与p互质（gcd(a,p)=1），则称a关于模p的乘法逆元为x。（不互质则乘法逆元不存在）

基本的应用场景：有一个问题，在求解过程中有除法，答案很大，要求最终答案对某数p取模。显然，由于除法的出现，每一次运算之后取模是行不通的。（比如：求1*7/2，答案对5取模。如果每一次运算取模也就是7%5/2%5，会得到1，正确结果却是3）如果不想高精度把最终结果算出来再取模的话，有一个方法，就是把除以x转换为乘上x关于模p的乘法逆元。

此外，分数取模也是用的乘法逆元。

（事实上，乘法逆元应该视为线性同余方程的解也就是一些数而不是一个数，但是一般只需要使用任意一个（比如最小正整数解）就能完成任务）

为什么能这么做：

设c是b关于模m的逆元，即$b*c{\equiv}1(mod\,m)$，那么有$a/b{\equiv}(a/b)*1{\equiv}(a/b)*b*c{\equiv}a*c(mod\,m)$

---

求法：

1.扩展欧几里得

$ax{\equiv}1(mod\,p)$，那么可以设$ax-1=p(-y)$，那么$ax+py=1$，而恰好$1=gcd(a,p)$，求解即可

---

2.欧拉定理（费马小定理）

---

关于欧拉函数和筛法

回顾质数筛法：

列一张表可以发现，每一个非质数x都是被(x/x的最小质因子)这个数筛掉的。

注意：break那里不能是(!i%prime[j])！！！！！如果这样写一定要写成(!(i%prime[j]))！！感叹号优先级高！！

nprime[1]=1;
for(i=2;i<=n;i++)
{
    if(!nprime[i])    prime[++len]=i;
    printf("%d: ",i);
    for(j=1;j<=len&&i*prime[j]<=n;j++)
    {
        nprime[i*prime[j]]=1;
        printf("%d ",i*prime[j]);
        if(i%prime[j]==0)    break;
    }
    puts("");
}

View Code