我校2016$\thicksim$2017学年度(上期)半期高三(理科)考试第12题 \(f(\dfrac{1}{2})=0\)， \(f'(x)\) \(\underline{\qquad\blacktriangle\qquad}.\) 【大致思路】关键的环节是构造符合\(f'(x)\cos x>2f(x)\sin x\) 的函数，如何构造呢？那么请出我们的九大金刚之“常微分方程”， 鉴于太超纲了，因此我们也不用搞清楚它的道理，只需要牢牢掌握 套路就行了。好，现在来看这种套路的过程： \(f'(x)\cos x>2f(x)\sin x\Rightarrow f'(x)\cos x=2f(x)\sin x\)(“不等”变“等”) \(\Rightarrow \dfrac{f'(x)}{f(x)}=\dfrac{2\sin x}{\cos x}\)("参变"分离) \(\Rightarrow \ln f(x)=-2\ln\cos x\)(两边积分)这步最关键 \(\Rightarrow \ln f(x)=\ln\dfrac{1}{\cos^2 x}\)(“两脚穿鞋”) \(\Rightarrow f(x)=\dfrac{1}{\cos^2 x}\)(“赤脚上阵”) \(\Rightarrow \cos^2 x f(x)=1\)(变量归“一”) \(\Rightarrow\)构造函数\(h(x)=\cos^2 x f(x)\) \((\cos^2 x f(x))'=\cos^2xf'(x)-2\cos x\sin xf(x)=\cos x[\cos xf'(x)-2\sin xf(x)]\) \(\Rightarrow (\cos^2 x f(x))'>0\Rightarrow\)当\(x>0,h(x)\)单调递增 \(\Rightarrow\)当\(x>0,h(\log_2x)=\cos^2(\log_2x)f(\log_2x)>0=\cos^2(\frac{1}{2})f(\frac{1}{2})=h(\frac{1}{2})\)，后面略\(.\) 哈哈！搞定！ 同事余登超老师提供如下构造法： \(\Rightarrow f'(x)\cos x-f(x)\sin x>f(x)\sin x\) \(F(x)=f(x)\cos x\Rightarrow F'(x)>f(x)\sin x\Rightarrow F'(x)>F(x)\dfrac{\sin x}{\cos x}\) \(\Rightarrow F'(x)\cos x-F(x)\sin x>0\Rightarrow (F(x)\cos x)'>0\Rightarrow (f(x)\cos^2x)'>0\) 哈哈！也搞定！ \(f(1)=1\)，则不等式 \(f(x)<x\text{e}^{x-1}\)的解集为\(\underline{\qquad\blacktriangle\qquad}.\) \(f(x)\) \(\underline{\qquad\blacktriangle\qquad}\) A.有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值 C.既有极大值，又有极小值 D.既无极大值，又无极小值 \(f(2)=0\)， \(\underline{\qquad\blacktriangle\qquad}.\) 相关文章： 2021-12-03 2021-12-05 2021-09-26 2021-07-10 2021-08-28 2021-08-03