\(\Omega\)上的连续分支.
\(\Omega\)上的解析分支.
例2.4.3 指数函数的性质
(1) \(\forall z=x+i y\in\mathbb{C}, e^z=e^x(\cos y+i\sin y).\)
(2) \(z=x\in\mathbb{R}\), \(e^z\)与通常实指数函数的定义一致.
(3) \(|e^z|=e^x>0.\)
(4) \(e^z\)在\(z\)平面上解析, 且\((e^z)'=e^z.\)
(5) \(e^{z_1+z_2}=e^{z_1}e^{z_2}.\)
(6) \(e^z\)以\(2i\pi\)为基本周期.
\(Ln z\).
具体地, \(Ln z=\{\ln|z|+i\arg z+i2k\pi, k\in\mathbb{Z}\}.\)
若把\(\ln|z|+i\arg z\)称为主值, 记作\(\ln z\), 则\(Ln z=\{\ln z+i2k\pi, k\in\mathbb{Z}\}.\)
\(\mathbb{C}-\{0\}.\)
\(2\pi\)的整数倍.
\(z_0\in\Omega\)上的值相等, 则这两个解析分支恒相等.
(2) 为方便, \(Ln f(z)\)在\(\Omega\)上的解析分支\(g(z)\)有时简记为\(\ln f(z)\), 若强调是特定的一支, 要给定\(z_0\in\Omega\), 确定出\(\ln f(z)\)在\(z_0\)的值.
\(\ln_{\Omega}(z-z_0)+2k\pi i, k\in\mathbb{Z}.\)
证明：令\(f(z)=z-z_0\), 则\(f(z)\)在\(\Omega\)上解析, 处处不为零, 由定理2.4.5, 成立.
\(2\pi\)的整数倍.
注：\(\arg(z-z_0)\)不解析.
注：设\(\Gamma: z=\gamma(t), \ t\in[a,b]\)是一条分段光滑的有向曲线(简称路径), 若\(0\not\in\Gamma\), 即\(\gamma(t)\)在\([a,b]\)上不取零值, 则存在\(\rho(t)=|\gamma(t)|,\theta(t), t\in[a,b],\) 分段光滑实函数, 使得\(\gamma(t)=\rho(t)e^{i\theta(t)}\).