昨天晚上开始看二分图，到现在基本的东西学会了
我就写一下我自己的理解
首先什么是二分图
顾名思义就是能分成两个部分的图
要注意的是，‘分’的是点
并且这两个集合（这里我们称作X集合和Y集合）内部所有的点之间没有边相连，也就是说X集合中任何两点之间都不会有边相连， Y亦然
定理1：无向图G为二分图的一个冲要条件是 1、G中至少包含两个顶点 2、G中所有的回路长度都必须是偶数
接下来是一些概念：
匹配：设G=<V, E>为二分图，如果 M⊆E，并且 M 中没有任何两边有公共端点，则成M为G的一个匹配。【也就是说匹配的实质是一些边的集合。】
最大匹配：边数最多的匹配
完备匹配与完全匹配：若 X 中所有的顶点都是匹配 M 中的端点。则称 M 为X的完备匹配。 若M既是 X-完备匹配又是 Y-完备匹配，则称M 为 G 的完全匹配。
最小点覆盖：用尽可能少的点去覆盖所有的边【最小点覆盖集是点的集合，其个数为最小点覆盖数】
最大点独立：跟网络流中的最大点权独立集有点类似，这里指的是最大独立的个数
接下来是二分图的一些性质：
设无向图G有n个顶点，并且没有孤立顶点，那么，
1、点覆盖数 + 点独立数 = n
2、最小点覆盖数 = 二分图的最大匹配
3、最大点独立数 = n - 最小点覆盖数 = n - 最大匹配
二分图的判定：
判断一个图是不是二分图有两条1、n>= 2 2、不存在奇圈
我们可以用黑白染色的方法进行判断
1 const int maxn = 105; 2 3 int col[maxn]; 4 5 bool is_bi(int u) { 6 for(int i = 0; i < G[u].size(); i++) { 7 int v = G[u][i]; 8 if(col[v] == col[u]) return false; 9 if(!col[v]) { 10 col[v] = 3 - col[u]; 11 if(!is_bi(v)) return false; 12 } 13 } 14 return true; 15 }
接下来介绍一下求二分图最大匹配的匈牙利算法。
匈牙利算法的思想是这样的：如果一个图中存在增广路，那么沿着这条路增广，匹配就会加1，知道不存在增广路为止
这里的增广路是这么定义的：对于一个未匹配或已经匹配好一部分的G来说
在X集合中的未匹配点出发，依次经过未匹配边匹配边未匹配边匹配边……而终点落在Y中的一个未访问点上，那么只要将该路上的匹配边于未匹配边调换，那么新的匹配必将比原来的匹配多1，【详细见http://blog.csdn.net/xuguangsoft/article/details/7861988中的图】//如果不理解可以看刘汝佳大白书，一会动手模拟一下程序即可
下面是匈牙利算法的邻接矩阵和邻接表程序
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 using namespace std; 5 6 const int maxn = 105; 7 const int INF = 1000000000; 8 9 bool vis[maxn];//查询右集合中的点有没有被访问过 10 int link[maxn];//link[i]表示右集合中的i点是由左集合中的哪个点连接的 11 int G[maxn][maxn];//邻接矩阵 12 int x_cnt; int y_cnt;//左右集合的点的个数 13 14 bool find(int u) {//用来寻找增广路 15 for(int i = 1; i <= y_cnt; i++) {//遍历右集合中的每个点 16 if(!vis[i] && G[u][i]) {//没有被访问过并且和u点有边相连 17 vis[i] = true;//标记该点 18 if(link[i] == -1 || find(link[i])){ //该点是增广路的末端或者是通过这个点可以找到一条增广路 19 link[i] = u;//更新增广路 奇偶倒置 20 return true;//表示找到一条增广路 21 } 22 } 23 } 24 return false;//如果查找了右集合里的所有点还没找到通过该点出发的增广路，该点变不存在增广路 25 } 26 27 int solve() { 28 int num = 0; 29 memset(link, -1, sizeof(link));//初始化为-1表示 不与左集合中的任何元素有link 30 for(int i = 1; i <= x_cnt; i++) {//遍历左集合 31 memset(vis, false, sizeof(vis));//每一次都需要清除标记 32 if(find(i)) num++;//找到一条增广路便num++ 33 } 34 return num; 35 }