笔记：基础图论

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前置知识：递归、DFS、BFS、回溯、栈、队列、树、基础动态规划、链表

（下文中，n 表示图中点的个数，m 表示图中边的个数）

一、图的存储

　　1、邻接矩阵：

　　　　用二维矩阵 {a_i,j}(n*n) 表示点 i 与点 j 之间是否有边直接相连以及边的状态。

　　2、边表：

　　　　存储图中的所有边，示例代码中 x 和 y 为边的两个端点，v 为边的状态。

1 struct edge {
2     int x, y, v;
3 } edge[MAX + 10];

　　邻接矩阵与边表的对比：

　　　　邻接矩阵以矩阵的方式将图存储了起来，显然空间复杂度为 O(n²)，边表则仅存储图中边的信息，显然空间复杂度为 O(m)，因而稀疏图中，边表存储效率更高，稠密图中二者相差不大

　　　　1）对于询问图中某两点之间是否有边直接相连，邻接矩阵可以直接检查 a_i,j 的具体值，边表则需进行遍历。

　　　　　　显然，邻接矩阵的效率更高

　　　　2）对于查找所有与 i 直接相连的点，可以检查 a_i,j(j ∈ [1, n],j ≠ 0) 的值，时间复杂度为 O(n)，边表仍需遍历，时间复杂度为 O(m)

　　　　　　一般情况下邻接矩阵的效率更高。

　　　　　　为了提高这类问题下边表的效率，将边表中的边改为单向边，引入前向星和邻接表。

　　3、前向星：

　　　　对于边集 E，获取其对应单向边表（x 为起点（第一关键字），y 为终点（第二关键字）），将边表按照第一关键字进行排序，对于某一点 i ，记录其在排序后的边表中，以该点为起点的边所在的边表下标区间 [l, r]。

　　　　显然，如果要查找所有与 i 直接相连的点，仅需从 l 遍历至 r 即可。

 1 int l[MAXN + 10], r[MAXN + 10];
 2 struct Edge {
 3     int x, y;
 4     friend bool operator < (const Edge a, const Edge b);
 5 } edge_list[MAXM + 10];
 6 
 7 bool operator < (const Edge a, const Edge b) {
 8     return a.x < b.x;
 9 }
10 
11 void prepare() {
12     std::sort(edge_list + 1, edge_list + 1 + m * 2);
13     l[edge_list[1].x] = 1; r[edge_list[m * 2].x] = m * 2;
14     for (int i = 2; i <= m * 2; ++i) if (edge_list[i].x != edge_list[i - 1].x) {
15         r[edge_list[i - 1].x] = i - 1;
16         l[edge_list[i].x] = i;
17     }
18 }

前向星