最小生成树的概念
给定无向图G = (V, E)，连接G中所有点，且边集是E的子集的树称为G的生成树，而权值和最小的生成树称为最小生成树，即MST。
构造MST的方法有很多种。常用的有Kruskal算法和Prim算法，前者好写，时间复杂度为O(m)，后者稍微难写，时间复杂度O(n*n)。(n为树的节点数，m为边数)。
Kruskal算法(摘自刘汝佳白书P199)：
算法的第一步是给所有边按照从小到大的顺序排序，然后从小到大考查所有边。考查到边(u, v)的时候有两种情况：
情况1：u, v此时属于同一个连通分量中，则加入(u, v)会形成环，不能加入该边。
情况2：u, v属于不同的连通分量。那么加入(u, v)一定是最优情况。为什么呢？用反证法证。如果不加这条边得到最优解T，则T+(u,v)一定有且只有一个环，而且环中至少有一条边(u', v')权值大于或等于(u, v)。删除该边后，得到新树T' = T + (u,v) - (u', v')，权值和T <= T，所以加入(u, v)不会比不加入差。
算法中，判断是否属于同一个连通分量用并查集即可。
1 //Kruskal算法求MST，返回MST的权值和，如果不联通返回-1 2 //时间复杂度O(m) 3 4 struct Pat{ //表示边 5 int s, e, w; //s, e表示边的两个点，w为权值 6 }; 7 8 int f[N]; //并查集 9 10 int kruskal(int n, int m) //n为点的数量，m为边的数量 11 { 12 sort (p, p+m, cmp); 13 for (int i = 0; i < n; ++ i) 14 f[i] = i; 15 16 int cost = 0; 17 for (int i = 0; i < m; ++ i){ 18 int t1 = find(p[i].s), t2 = find(p[i].e); 19 if (t1 != t2){ 20 cost += p[i].w; 21 f[t1] = t2; 22 } 23 } 24 25 int tmp; 26 for (int i = 0; i < n; ++ i){ 27 if (!i) tmp = find(i); 28 else if (tmp != find(i)) return -1; 29 } 30 return cost; 31 }