泰勒公式的理解--采集于知乎

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前言：

（1）理解好麦克劳林公式，就可以理解好泰勒公式

（2）任何一个复杂函数都可以用一个合适的多项式函数去近似表示。

（3）如何找到一个合适的多项式函数，在于能够构造一个与原函数每个阶级的导数值相等。比如原函数n阶可导，构造函数也必须n阶可导，并且每个阶级在X0的导数值必须相等。

（4）对（3）解释，因为导数的意义是刻画函数的变化程度，如果构造函数与原函数的初始值一致且变化程度一致，那么构造函数就等于原函数。

（5）对（4）解释，事实上（4）的说法是理想状态下的，实际情况下只能无限逼近。

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麦克劳林公式

对于一些复杂的函数, 要研究其性质往往是比较困难的. 而多项式函数的性质往往比较简单, 所以有时候, 为了方便研究, 我们可能会想着: 能不能用一个多项式函数去近似一个复杂的函数?

比如说, 现在我们想在点0附近, 用一个多项式函数, 去近似一个复杂函数 $y = e^x$ , 那我们应该怎么做呢?

我们知道当x=0时, $e^x = 1$ , 所以不妨拿一个"当x=0时, y值也为1的函数"来近似试试, 比如说: y = 1

绿色的线是e^x, 蓝色的线是y = 1, 下同

可以看到, 在x=0这一点上, 两个函数的值都是1, 但在x=0的邻域, 这两个函数的图像一点都不相似, 所以这个近似效果一般...

那如何让近似效果更好一些呢, 可以想到, 不妨用导数试试. 导数可以反应函数在某一点的变化率, 如果两个函数在x=0处, 除了y值相同, 变化率也相同, 那两个函数应该会更相似一些.

$(e^x)' = e^x$ , 当x=0时, $e^x$ 的导数为1

所以我们需要近似函数在x=0处的导数也为1, 比如说这个函数: y = 1 + x, 其导数y'等于常数1, 在x=0处的导数自然也为1

现在: 原始函数 $e^x$ , 近似函数y = 1 + x, 这两个函数在x=0处, 除了y值相同, 导数也相同. 我们来看看这两个函数的图像

两个函数的图像更接近了, 看来这个思路是正确的, 那沿着这个思路, 如果让近似函数在x=0处的二阶导, 和 $e^x$ 在x=0处的二阶导也相同呢...即在x=0处, 两个函数变化率的变化率也相同...

$(e^x)'' = e^x$

所以 $e^x$ 在x=0处的二阶导也为1

那么我们选定近似函数: $y = 1 + x+x^2/2$

近似函数在x=0时, y=1,

近似函数的一阶导为1+x, 当x=0时, 一阶导为1,

近似函数的二阶导为常数1, 当x=0时, 二阶导也为1,

这些值和 $e^x$ 在x=0处的y值, 一阶导, 二阶导的值是相同的, 来看看两个函数的图像

更相近了...

然后我们按照这个思路, 来试试三阶导

让近似函数在x=0处的y值, 一阶导, 二阶导, 三阶导的值 = $e^x$ 在x=0处的y值, 一阶导, 二阶导, 三阶导的值

比如近似函数为: $y =1+x+x^2/2+x^3/6$ (这个函数是满足上述条件的, 这里就不验证了)

看一下图像:

更相近了..

再来看几张:

四阶导相同

五阶导相同

十阶导相同, 近似函数和原始函数n阶导相同, n越大, 近似程度越高

按这个思想, 假设原始函数在x = 0处n阶可导(比如 $e^x$ 在x=0处就是n阶可导)

如果让近似函数在x=0处的y值, 一阶导, 二阶导 ...n阶导的值 = $e^x$ 在x=0处的y值, 一阶导, 二阶导 ...n阶导的值. 则可以推测此时两个函数的图像应该会很相似, 或者说近似函数对原始函数的近似效果应该会很好, 事实也确实如此.

麦克劳林公式(麦克劳林公式就是x0=0时的泰勒公式, 后面会具体讲泰勒公式)就是在描述: 如何找到满足上述条件的近似多项式函数, 写成公式大概是:

左侧是原始函数, 右侧是近似多项式函数

而两者之间的关系只是约等于, 或者说是近似. 实际上, 完整的麦克劳林公式是这样的:

后面的 $○(x^n)$ 是佩亚诺余项, 加上这个佩亚诺余项, 左右就相等了

麦克劳林公式的含义就是: 如何在x=0附近, 用一个多项式函数(等号右侧的函数), 去近似一个复杂函数(等号左侧的函数)

(这里稍微说一下佩亚诺余项: 在麦克劳林公式中, 佩亚诺余项 $○(x^n)$ 是个当x→0时比 $x^n$ 高阶的无穷小, 这也就说明, 在x=0附近, 用麦克劳林公式产生的多项式函数(不含余项部分)去近似原始函数时, x离0越近的地方, 近似的误差越小, 近似效果越好, x离0越远的地方, 近似的误差越大, 近似效果越坏)

2. 为什么麦克劳林公式会是这种形式

麦克劳林公式:

为什么等号右侧的多项式(不含最后的余项)要写成这种形式呢? 其实理论上, 右侧的多项式也可以写成别的形式, 其本质只是为了满足下面这个条件:

让右侧多项式函数在x=0处的y值, 一阶导, 二阶导 ...n阶导的值 = 被近似函数在x=0处的y值, 一阶导, 二阶导 ...n阶导

这里的多项式

只是满足这个条件的一种形式. 如果还有别的形式的函数可以满足这个条件, 它也可以替换掉麦克劳林公式中的的多项式部分.

这里引用下"

泰勒展开(或者说麦克劳林公式)并不是唯一的，因为任何在对应阶求导后能够消失并只留下导数值的函数，都可以作为泰勒展开的备胎。可惜的是，幂函数与阶乘的组合，是我们已知的唯一具有上述性质的函数，因此，这种唯一性决定了泰勒展开能够且仅能够由幂函数表示。

3. 泰勒公式

麦克劳林公式只是泰勒公式在x0=0时的特殊情况, 现在抛开x0=0, 让x0可以是函数定义域中的任意值(只要在x0处n阶可导就行), 就变成了泰勒公式

理解了麦克劳林公式, 很快就能理解泰勒公式了: 泰勒公式用于在x0附近, 用一个多项式函数(等号右侧的函数), 去近似一个复杂函数(等号左侧的函数)

4. 总结

I. 泰勒公式的作用是描述如何在x0点附近, 用一个多项式函数去近似一个复杂函数.

II. 之所以能实现这种近似, 背后的逻辑是:

让近似多项式函数在x=x0处的y值, 一阶导, 二阶导 ...n阶导的值 = 原始函数在x=x0处的y值, 一阶导, 二阶导 ...n阶导

即, 如果函数A和函数B在某一点的值一样, 变化率一样, 变化率的变化率一样, 变化率的变化率的变化率也一样...

就这样层层深入, 无论深入到哪一个维度, 关于这一点的变化率, 函数A和函数B都是一样的, 那就可以推断:

在这一点上, 函数A和B应该是一样的

在这一点附近, 函数A和B应该很相似

离这一点越远, 函数A和B的相似程度就越难以保证

...

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最后需要说明的是, 这篇答案更多的是: 在默认泰勒公式正确性的前提下, 告诉大家如何去"直观感受"这种正确性, 去理解这么长的一串公式背后所表达的简单含义, 并粗略地理解公式成立的大体原因. 至于泰勒公式究竟是如何推导出来的, 其背后经过了怎样地严格证明, 这里并没有真正提及, 这些内容需要大家去查阅更多的资料, 进行深入的理解...