DirectX下 Viewing Frustum 的详细实现
本文大部分内容翻译自Gil Gribb和Klaus Hartmann合写的《Fast Extraction of Viewing Frustum Planes from the World-View-Projection Matrix》这篇文章，有兴趣的朋友可以搜索看下原文，里面DirectX下和OpenGL下的实现过程都说的很清楚，这里只说DirectX部分。
这里介绍的算法，可以直接从世界、观察以及投影矩阵中计算出Viewing Frustum的六个面。它快速，准确，并且允许我们在相机空间（camera space）、世界空间（world space）或着物体空间（object space）快速确定Frustum planes。
我们先仅仅从投影矩阵（project）开始，也就是假设世界矩阵（world）和观察矩阵（view）都是单位化了的矩阵。这就意味着相机位于世界坐标系下的原点，并且朝向Z轴的正方向。
定义一个顶点v（x y z w=1）和一个4*4的投影矩阵M=m（i,j），然后我们使用该矩阵M对顶点v进行转换，转换后的顶点为v'= (x' y' z' w')，可以写成这样：
转换后，viewing frustum实际上就变成了一个与轴平行的盒子，如果顶点 v' 在这个盒子里，那么转换前的顶点 v 就在转换前的viewing frustum里。在Direct3D下，如果下面的几个不等式都成立的话，那么 v' 就在这个盒子里。
-w' < x' < w'
-w' < y' < w'
0 < z' < w'
可得到如下结论，列在下表里：
现在假设，我们要测试x'是否在左半空间内，根据上表，也就是判断 -w' < x' 是否成立。用我们开始提到的信息，可将不等式写成如下形式：
-( v * col4 ) < ( v * col1 )
即：
0 < ( v * col4 ) + ( v * col1 )
得到最后形式：
0 < v * ( col1 + col4 )
写到这里，其实已经等于描绘出了转换前的viewing frustum的左裁剪面的平面方程：
x * ( m14 + m11 ) + y * ( m24 + m21 ) + z * ( m34 + m31) + w * ( m44 + m41 ) = 0
当W = 1，我们可简单成如下形式：
x * ( m14 + m11 ) + y * ( m24 + m21 ) + z * ( m34 + m31) + ( m44 + m41 ) = 0
这就给出了一个基本平面方程：
ax + by + cz + d = 0
其中，
a = ( m14 + m11 ) , b = ( m24 + m21 ), c = ( m34 + m31) , d = ( m44 + m41 )
ok，到这里左裁剪面就得到了。重复以上几步，可推导出到其他的几个裁剪面，具体见下表：
需要注意的是：最终得到的平面方程都是没有单位化的（平面的法向量不是单位向量），并且法向量指向空间的内部。这就是说，如果要判断 v 在空间内部，那么6个面必须都满足ax + by + cz + d > 0
到目前为止，我们都是假设世界矩阵( world )和观察矩阵( view )都是单位化了的矩阵。但是，本算法并不想受这种条件的限制，而是希望可以在任何条件下都能使用。实际上，这也并不复杂，并且简单得令人难以置信。如果你仔细想一下就会立刻明白了，所以我们不再对此进行详细解释了，下面给出3个结论：
1. 如果矩阵 M 等于投影矩阵 P ( M = P )，那么算法给出的裁剪面是在相机空间（camera space）
2. 如果矩阵 M 等于观察矩阵 V 和投影矩阵 P 的组合( M = V * P )，那么算法给出的裁剪面是在世界空间（world space）
3.如果矩阵 M 等于世界矩阵 W，观察矩阵 V 和投影矩阵 P 的组合( M = W* V * P )，呢么算法给出的裁剪面是在物体空间（object space）
好，到此为止，理论知识就全部说完了，下面给出具体的实现代码：
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