文章链接：http://www.cnblogs.com/Asm-Definer/p/4434601.html
题目链接：http://pan.baidu.com/s/1mgxIKli
官方数据：http://pan.baidu.com/s/1qW4wkVE
看巨神们都去虐ZJOI了，蒟蒻只能默默地码着CQOI的题解……
CQOI的难度分布也是挺神奇的，五小时五道题，三（或四）道水题一两道神题（只是对我来说比较神...），我猜让我去考我一定会写不完D题然后滚去备战高考= =
A.选数
题意：
从区间[L, H]中选出N个数（可以重复），求取出的N个数的最大公约数恰好为K的方案数。
其中$1 \leq L, H, N \leq 10^9, H - L \leq 10^5$
分析：
刚开始还以为这是道简单的莫比乌斯反演题，推了半天公式，发现是个依赖$\lfloor H / K \rfloor $的式子
$$\sum_{d=1}^{H/K} \mu(d) (\frac{H}{d*K} - \frac{L-1}{d*K})^N$$（由于LaTeX打取整式太不方便所以这个式子没有考虑细节）当$H/K$很大的时候mu就无法预处理了。
后来衡中的JSX同学（http://55242.cf/)告诉我一个不错的思路：对较小的mu用线性筛预处理，对较大的mu直接暴力分解质因数。而当d比较大的时候会有很多$(\frac{H}{d*K} - \frac{L-1}{d*K})$为0的区间，遇到这些区间就跳转一下就可以了。粘一下他的核心代码：
1 for(int i = 1;i <= R;++ i) {
2 if((R/i) == (L/i)) {
3 i = min((LL)R/(R/i) ,(LL)L / i ? L/(L/i) : INF);
4 continue;
5 } else {
6 ans += (LL)quickpow((R/i)-(L/i),N) * get_mu(i);
7 ans %= mod;
8 }
9 }思路简单，效率也很不错。
不过……有强迫症的同学可能会想……如果这道题表达式的后半部分不是$(\frac{H}{d*K} - \frac{L-1}{d*K})$而只有$\frac{H}{d*K}$，这个式子就不会很快变成0了。这样还是否可做呢？
考虑到在取整后$\frac{H}{d*K}$的取值只有$\sqrt{\frac{H}{K}}$个，如果我们能快速地求出莫比乌斯的前缀和（梅腾斯函数），就可以在$O(1)$的时间内求出一段相等的区间的贡献了。
这个$M(N) = \sum_{i=1}^N \mu(i)$看起来似乎很难的样子……其实我们可以这样转化：
$$M(N)= \sum_{i=1}^N (\sum_{d|i}\mu(d) - \sum_{d|i \land d \neq i}\mu(d) ) \\ = 1 - \sum_{i=1}^N \sum_{d|i \land d \neq i} \mu(d) \\= 1 - \sum_{i'=2}^N \sum_{d=1}^{\lfloor \frac{N}{i'} \rfloor} \mu(d) \\ = 1 - \sum_{i'=2}^N M(\lfloor \frac{N}{i'}\rfloor)$$
这样，我们就只需在预处理出前$10^7$项梅腾斯函数后在处理较大的N时对
$\lfloor \frac{N}{i'}\rfloor$分块递归就可以快速地求出超过$10^7$的梅腾斯函数了。（这个带下取整的递推式复杂度究竟是多少呢……反正我不会分析……不过目测我们需要计算梅腾斯函数的次数非常少，所以这个复杂度已经足够了。
然而……出题人表示我们都太Simple啦，Sometimes Naive！我们观察一下题目中的条件……“$H - L \leq 10^5$"......注意到当N个数不全相同的时候，它们的最大公约数一定不会超过其中任意两个不同数的差。于是……我们只需要将边界除以K后递推”N个数不全相同且最大公因数为i($i \leq 10^5$)"的方案数，最后特判一下N个数都相同的情况，加上递归得到的F(1)就是答案了，复杂度是优美的$(H-L) log (H-L)$。
代码：
2 /**********************By Asm.Def-Wu Jiaxin*****************************/
3 /***********************************************************************/
4 #include <cstdio>
5 #include <cstring>
6 #include <cstdlib>
7 #include <ctime>
8 #include <cctype>
9 #include <algorithm>
10 #ifdef DEBUG
11 #include <sys/timeb.h>
12 #endif
13 using namespace std;
14 #define SetFile(x) ( freopen(#x".in", "r", stdin), freopen(#x".out", "w", stdout) );
15 #define getc() getchar()
16 template<class T>inline void getd(T &x){
17 char ch = getc();bool neg = false;
18 while(!isdigit(ch) && ch != '-')ch = getc();
19 if(ch == '-')ch = getc(), neg = true;
20 x = ch - '0';
21 while(isdigit(ch = getc()))x = x * 10 - '0' + ch;
22 if(neg)x = -x;
23 }
24 #ifdef DEBUG
25 #include <sys/timeb.h>
26 timeb Tp;
27 #endif
28 /***********************************************************************/
29 const int maxn = 100004, mod = 1000000007;
30 typedef long long LL;
31 inline int powmod(int a, int n){
32 int ans = 1;
33 while(n){if(n & 1)ans = (LL)ans * a % mod;a = (LL)a * a % mod;n >>= 1;}
34 return ans;
35 }
36
37 inline void work(){
38 int f[maxn], N, K, L, H, i, j, t, *it;getd(N), getd(K), getd(L), getd(H);
39 L = (L - 1) / K;H /= K;
40 int len = H - L;
41 for(i = len, it = f + i;i;--i, --it){
42 t = H / i - L / i;//澶氬皯涓猧鐨勫€嶆暟
43 *it = (powmod(t, N) + mod - t) % mod;
44 for(j = i << 1;j <= len;j += i)
45 *it = (*it + mod - f[j]) % mod;
46 }
47 if(L <= 1 && H > 1)++f[1];
48 printf("%d\n", f[1]);
49 }
50
51 int main(){
52
53 #ifdef DEBUG
54 freopen("test.txt", "r", stdin);
55 ftime(&Tp);
56 time_t Begin_sec = Tp.time, Begin_mill = Tp.millitm;
57 #elif !defined ONLINE_JUDGE
58 SetFile(cqoi15_number);
59 #endif
60 work();
61
62 #ifdef DEBUG
63 ftime(&Tp);
64 printf("\n%.3lf sec \n", (Tp.time - Begin_sec) + (Tp.millitm - Begin_mill) / 1000.0);
65 #endif
66 return 0;
67 }
B.网络吞吐量
题意：
在一个无向网络的最短路径构成的DAG上求最大流。$|V| \leq 500, |E| \leq 100000 $
分析：
似乎不需要分析了，除了最短路+网络流外没有什么其他的东西……
注意到这里的原图是个稠密图，使用$O(|V|^2)$的Dijkstra 可以得到很好的运行效率。
代码：
2 #include <cstring>
3 #include <cstdlib>
4 #include <ctime>
5 #include <cctype>
6 #include <algorithm>
7 #include <cmath>
8 using namespace std;
9 #define USEFREAD
10 #ifdef USEFREAD
11 #define InputLen 5000000
12 char *ptr=(char *)malloc(InputLen);
13 #define getc() (*(ptr++))
14 #else
15 #define getc() (getchar())
16 #endif
17 #define SetFile(x) (freopen(#x".in", "r", stdin), freopen(#x".out", "w", stdout))
18 template<class T>inline void getd(T &x){
19 char ch = getc();bool neg = false;
20 while(!isdigit(ch) && ch != '-')ch = getc();
21 if(ch == '-')ch = getc(), neg = true;
22 x = ch - '0';
23 while(isdigit(ch = getc()))x = x * 10 - '0' + ch;
24 if(neg)x = -x;
25 }
26 /***********************************************************************/
27 const int maxn = 512, maxv = 1003;
28 typedef long long LL;
29 const LL INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fll;
30 int S, N, tmp[maxn][maxn], tmpcnt[maxn], val[maxn];
31 LL dis[maxn], G[maxn][maxn];
32 inline void init(){
33 int M, i, u, v, d, *t = val + 1;
34 getd(N), getd(M);S = 1 + N;
35 while(M--){
36 getd(u), getd(v), getd(d);LL &e = G[u][v];
37 if(!e || e > d)e = d, G[v][u] = d;
38 }
39 for(i = 1;i <= N;++i, ++t)getd(*t);
40 }
41
42 struct Edge{
43 int to, vol;Edge *op;
44 inline void init(int t, int v, Edge *o){to = t, vol = v, op = o;}
45 }adj[maxv][maxn];int adjcnt[maxv];
46
47 inline void AddE(int u, int v, int vol){
48 int &itu = adjcnt[u], &itv = adjcnt[v];
49 adj[u][itu].init(v, vol, adj[v] + itv);adj[v][itv].init(u, 0, adj[u] + itu);++itu, ++itv;
50 }
51
52 inline void Dij(){
53 memset(dis, INF, sizeof(dis));dis[1] = 0;
54 bool tab[maxn] = {0}, inS[maxn] = {0,1};
55 int tablist[maxn], *tabiter = tablist, i, j, v, *it, *tmpt;
56 LL *tmpd, *e, t;
57 for(i = 2,e = G[1]+2,tmpd = dis+2;i <= N;++i,++e,++tmpd)if(*e)
58 *(tabiter++) = i, *tmpd = *e, tmp[i][tmpcnt[i]++] = 1;
59 for(j = 2;j <= N;++j){
60 if(tabiter == tablist)break;
61 t = INF;
62 for(it = tablist;it < tabiter;++it)if(dis[*it] < t)
63 tmpt = it, t = dis[*it];
64 inS[v = *(it = tmpt)] = true;
65 e = G[v] + 2;
66 swap(*it, *(--tabiter));
67 for(i = 2,tmpd = dis+2;i <= N;++i,++e,++tmpd)if(*e && !inS[i]){
68 if(*tmpd > t + *e){
69 *tmpd = t + *e;
70 *tmp[i] = v;tmpcnt[i] = 1;
71 if(!tab[i])*(tabiter++) = i, tab[i] = true;
72 }
73 else if(*tmpd == t + *e)
74 tmp[i][tmpcnt[i]++] = v;
75 }
76 }
77 for(i = 2;i <= N;++i)for(it = tmp[i] + tmpcnt[i] - 1;it >= tmp[i];--it)
78 AddE(*it + N, i, INF);
79 for(i = 1;i <= N;++i)AddE(i, i + N, val[i]);
80 }
81
82 int dep[maxv], curadj[maxv];
83 LL dfs(int cur, LL f){
84 if(cur == N)return f;
85 LL d = dep[cur], ans = 0, t;
86 int &adjit = curadj[cur];
87 Edge *it;
88 for(;adjit < adjcnt[cur];++adjit)if((it = adj[cur]+adjit)->vol && dep[it->to] == d + 1){
89 t = dfs(it->to, min(f, (LL)it->vol));
90 it->vol -= t, it->op->vol += t, ans += t, f -= t;
91 if(!f)return ans;
92 }
93 return ans;
94 }
95 #include <queue>
96 inline bool bfs(){
97 memset(curadj, 0, sizeof(curadj));
98 queue<int> Q;bool vis[maxv] = {0};vis[S] = true;
99 Q.push(S);
100 int v;LL d;
101 Edge *it, *end;
102 while(!Q.empty()){
103 v = Q.front();Q.pop();d = dep[v];
104 for(it = adj[v],end = it + adjcnt[v];it < end;++it)if(it->vol && !vis[it->to])
105 dep[it->to] = d + 1, Q.push(it->to), vis[it->to] = true;
106 }
107 return vis[N];
108 }
109
110 int main(){
111 #ifdef DEBUG
112 freopen("test.txt", "r", stdin);
113 #else
114 SetFile(cqoi15_network);
115 #endif
116 #ifdef USEFREAD
117 fread(ptr,1,InputLen,stdin);
118 #endif
119 init();
120 Dij();
121 LL ans = 0;
122 while(bfs())
123 ans += dfs(S, INF);
124 printf("%lld\n", ans);
125 #ifdef DEBUG
126 printf("\n%.3lf sec \n", (double)clock() / CLOCKS_PER_SEC);
127 #endif
128 return 0;
129 }