01背包
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用（即体积，下同）是w[i]，价值是c[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
基本思路：
这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品(部分或全部)恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。
则其状态转移方程便是：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-w[i]]+c[i]}。
这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。
所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-w[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f [i-1][v-w[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值c[i]。
注意f[i][v]有意义当且仅当存在一个前i件物品的子集，其费用总和为v。所以按照这个方程递推完毕后，最终的答案并不一定是f[N][V]，而是f[N][0..V]的最大值。如果将状态的定义中的“恰”字去掉，在转移方程中就要再加入一项f[i-1][v]，这样就可以保证f[N][V]就是最后的答案。
但是若将所有f[i][j]的初始值都赋为0，你会发现f[n][v]也会是最后的答案。
因为这样你默认了最开始f[i][j]是有意义的，只是价值为0，就看作是无物品放的背包价值都为0，所以对最终价值无影响，这样初始化后的状态表示就可以把“恰”字去掉。
e.g.
【问题描述】 一个旅行者有一个最多能用m公斤的背包，现在有n件物品，它们的重量分别是W1，W2，...,Wn,它们的价值分别为C1,C2,...,Cn.若每种物品只有一件求旅行者能获得最大总价值。
【输入格式】 第一行：两个整数，M(背包容量，M<=200)和N(物品数量，N<=30)； 第2..N+1行：每行二个整数Wi,Ci，表示每个物品的重量和价值。
【输出格式】 仅一行，一个数，表示最大总价值。
【样例输入】10 4 2 1 3 3 4 5 7 9
【样例输出】12
#include<cstdio> using namespace std; const int maxm = 201, maxn = 31; int m, n; int w[maxn], c[maxn]; int f[maxn][maxm]; int max(int x,int y) { x>y?x:y;} //求x和y最大值 int main(){ scanf("%d%d",&m, &n); //背包容量m和物品数量n for (int i = 1; i <= n; i++) //在初始化循环变量部分，定义一个变量并初始化 scanf("%d%d",&w[i],&c[i]); //每个物品的重量和价值 for (int i = 1; i <= n; i++) // f[i][v]表示前i件物品，总重量不超过v的最优价值 for (int v = m; v > 0; v--) if (w[i] <= v) f[i][v] = max(f[i-1][v],f[i-1][v-w[i]]+c[i]); else f[i][v] = f[i-1][v]; printf("%d",f[n][m]); // f[n][m]为最优解 return 0; }