十进制正整数与其二进制表示的位数之间的关系

在度量与数字特性相关的算法的输入规模时，计算机科学家常常倾向于度量数字n 的二进制表示中的比特数b：

　　　　b = ⌊log₂n⌋ + 1

这种度量常常使我们对所讨论算法的效率有一个更加清晰的概念。

下面我们来证明这个等式：

　　不失一般性，设正整数n 的二进制表示中共有b 位，因此n 的最大值就是所有的位全部取1，即

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　MaxValue = 2^0 + 2^1 + ... + 2^(b-1) = 2^b - 1。

　　最小值就是第b 位取1，其余位全部取0，此时MinValue = 2^(b-1)。

　　因此，我们有 2^(b-1) ≤ n < 2^b。对等式两边以2 为底取对数，有b - 1 ≤ ⌊log₂n⌋ < b，即：b = ⌊log₂n⌋ + 1。命题得证。

 

 

 

 

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