透视投影后的线性插值校正

许多着色方法都要用到顶点间的线性插值，譬如逐像素着色的Phong Shading往往需要进行纹理坐标等的线性插值。然而，透视投影会导致直接在屏幕空间进行线性插值得到的结果不正确，如下图：

在屏幕上进行的线性插值并不对应在物体上的线性插值，这将导致一系列与该插值相关的着色结果出现错误。譬如，如果在屏幕上直接插值纹理坐标，会得到下图中右边的结果（左边为正确的结果）：

解决该问题的一种方式是利用在屏幕空间的线性性。假设坐标为和的点分别被投影到屏幕上坐标为和的位置，直线的方程为，如下图：

若以为原点，易见有

整理得

将代入方程并整理可得

类似地，有以下方程成立：

类似的式子对上的每一点及其投影点都成立。现考虑在和间进行的线性插值，有：

由此可知，在屏幕上进行的线性插值对应于在投影前空间中对的线性插值。现假设要在和间对属性值和进行线性插值得到，易知——

整理得

现在屏幕空间对进行线性插值，即

将上式代入表达式得

这就得到了正确的对插值的方法：在屏幕空间中对、分别进行线性插值得到和，然后用后者除以前者，即得到。

以上推导仅考虑了、坐标，现考虑三角形上进行的线性插值，假设屏幕上线性插值的权重为和，真实三角形上对应的权重为和，故有

注意到，，代入得到

解得

这就得到了根据求出的公式。由于在透视投影变换后、坐标齐次化之前，和的比值是一定的，因此上面两个公式中的坐标均可换成透视投影变换后、坐标齐次化之前对应的坐标。