逆序数及其求法

1. 逆序数

所谓逆序数，就是指一个序列S[i]，统计处于序列的每个数的比这个数大并且排在它前面的数的数目，然后对于所有数，把这个数目加起来求和就是了。

比如4 3 1 2

4第一个，所以数目为0

3的前面是4，大于3的数目为1

1的前面是4 3 ，大于1的数目为2

2的前面是4 3 1，大于2的数目为2

所以逆序数为1+2+2 = 5

 

求逆序数的两种方法

常规方法是按照逆序数的规则做，结果复杂度是O(n*n)，一般来说，有两种快速的求逆序数的方法

分别是归并排序和树状数组法

 

 

2. 归并排序

归并排序是源于分而治之思想，详细的过程可以查阅其他资料，总体思想是划分一半，各自排好序后将两个有序序列合并起来。

如何修改归并排序求逆序数?

首先我们假设两个有序序列a[i]和b[i]，当合并时：

由于a[i]已是有序，所以对于a[i]的各个元素来说，排在它前面且比它大的数目都是0

当b[i]中含有比a[i]小的元素时，我们必然将b[i]元素插到前面，那么就是说，在b[i]原先位置到该插的位置中，所有数都比b[i]大且排在它前面

所以这是b[i]的数目为新插入位置newPos - 原来位置oldPos

 

那么对于一半的序列又怎么做呢？我们知道，归并排序会继续向下递归，而递归完成返回后将是两组有序的序列，并且拿到局部的逆序数，

所以在Merge函数中添加这一计数操作即可

代码示例如下：

#include<stdio.h>
#define M 1000
int L[M];
int R[M];
const int Max = 1 <<30;
int change = 0;
void Merge(int *data,int left,int divide,int right)
{
    int lengthL = divide - left;
    int lengthR = right - divide;
    for(int i = 0; i < lengthL; ++i)
    {
        L[i] = data[left + i];
    }
    for(int i = 0; i < lengthR; ++i)
    {
        R[i] = data[divide + i];
    }
    L[lengthL] = R[lengthR] = Max;
    int i = 0;
    int j = 0;
    for(int k = left; k < right; ++k)
    {
        if(L[i] <= R[j])
        {
            data[k] = L[i];
            ++i;
        }
        else
        {
            change += divide - i - left ;
            data[k] = R[j];
            ++j;
        }
        printf("%d ",data[k]);
    }
    printf("\n");
}
void MergeSort(int *data,int left,int right)
{
    if(left < right -1)
    {
        int divide = (left + right)/2;
        MergeSort(data,left,divide);
        MergeSort(data,divide,right);
        Merge(data,left,divide,right);
    }
}
int main()
{
    int n,i;
    int map[100];
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        for(i=0;i<n;i++)
        scanf("%d",&map[i]);
        change=0;
        MergeSort(map,0,n);
        printf("%d\n",change);
    }
    return 0;
}

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