基于比较排序的算法复杂度的下界

2019-04-28 20:51:54

首先，所有基于比较的排序算法，都是以决策树模型作为依据的。

对于待排序的 n 个元素，其所有可能的排序种数为 n! ，其决策树高度为h （即为排序算法比较的次数）
高度为 h 的决策树，最多有叶子节点 个，所以就有

由斯特林近似公式：

得
其中，
故， 的渐近下界为

 

【补充】

如果不使用斯特林公式，依然可以证明得到log(n!)和nlogn是同阶的。

1）显然的是n! < n^n，因此log(n!) < nlogn

2) n! = n * (n - 1) * ... * 1, 我们可以将前n / 2的数字放缩到n / 2，后面的所有数字舍去，因此n! > (n / 2) ^ (n / 2)，得log(n!) > nlog(n)

综上，logn! 和 nlogn是同阶的。