杨表介绍 - 爱码网

在数学中，杨表（Young table）又称杨氏矩阵，最初用于对称群的表示理论。

杨图由有限个相邻的方格排列而成，其中，各横行的左边对齐，长度从上到下递增。分为英式画法和法式画法，这里只讨论标准杨表，

标准杨表：在杨图的n个方格中任意填入1到n中的相异正整数，各行和各列中的数字皆严格递增。

杨表介绍

“臂长”是正右方的方格数，“腿长”是正下方的方格数，“勾长”是“臂长+腿长+1”

给定一个杨表 $π λ ，一共有n个方格。那么把1到n这n个数字填到这个杨表中，使得每行从左到右都是递增的，每列从下到上也是递增的（法式画法）。用 dim π λ 表示这样的方法个数。$

勾长公式就是方法个数等于 n! 除以所有方格的勾长的乘积。

$$dim\pi _\lambda = \frac{n!}{\prod _{x\in Y(\lambda )}hook(x)}$$

例如，对于拆分10=5+4+1的杨表，

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$$dim\pi _\lambda = \frac{10!}{7\cdot 5\cdot 4\cdot 3 \cdot 1\cdot 5\cdot 3\cdot 2\cdot 1 \cdot 1 = 288 }$$

1，1，2，4，10，26，76，232，764，2620，9496，...（OEIS中的数列A000085）

递推形式为：$f(n) = f(n-1) + (n-1)*f(n-2),\ f(0)=1, \ f(1)=1$

例如，n=3 时

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问题：1-16十六个数字分别填入十六格方框内，要求从左至右的数字是从小到大排列，从上至下的数字也是从小到大排列，问：有多少种排列方式。

分析：

这实际上一个杨氏矩阵问题。

直接使用勾子公式，

按照4*4矩阵的形状，反对角线上的格子的钩子长度是一样的，

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所以最终答案是：

$16!/(7*6^2*5^3*4^4*3^3*2^2*1)=24024$

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