1.、素数测试问题
数学原理
Wilson定理：对于给定的正整数n，判定n是一个素数的充要条件是(n-1)! -1(mod n)。
费尔马小定理：如果p是一个素数，且0<a<p，则a^(p-1)1(mod p)。 例如67是一个素数，则2^66mod67=1.利用费尔马小定理，对于给定的正整数n,可以设计一个素数判定算法。通过计算d=2^(n-1)mod n来判定整数n的素性。当d!=1时，n肯定不是素数；当d=1时，n则可能是素数。但也存在合数n使得2^(n-1)
1(mod n)。例如，满足此条件的最小合数是n=341。
二次探测定理：如果p是一个素数，且0<x<p，则方程x^21(mod p)的解为x=1，p-1。
Carmichael数：费尔马小定理是素数判定的一个必要条件。满足费尔马小定理条件的整数n未必全是素数。有些合数也满足费尔马小定理的条件，这些合数称为Carmichael数。前3个Carmichael数是561,1105，1729。Carmichael数是非常少的，在1~100000000的整数中，只有255个Carmichael数。
求a^m(mod n)的算法
设m的二进制表示为bkbk-1…b1b0（bk=1）。
例：m=41=101001(2)，bkbk-1…b1b0=101001，（k=5）。
可以这样来求a^m：初始C←1。
b5=1：C←C^2(=1)，∵bk=1，做C←a*C(=a)；
b5b4=10：C←C^2(=a^2)，∵bk-1=0，不做动作；
b5b4b3=101：C←C^2(=a^4)，∵bk-2=1，做C←a*C(=a^5)；
b5b4b3b2=1010：C←C^2(=a^10)，∵bk-3= b2=0，不做动作；
b5b4b3b2b1=10100：C←C^2(=a^20)，∵bk-4= b1=0，不做动作；
b5b4b3b2b1b0=101001：C←C^2(=a^40)，∵bk-5= b0=1，做C←a*C(=a^41)。
最终要对am求模，而求模可以引入到计算中的每一步：
即在求得C2及a*C之后紧接着就对这两个值求模，然后再存入C。
这样做的好处是存储在C中的最大值不超过n-1，
于是计算的最大值不超过max{(n-1)^2,a(n-1)}。
因此，即便am很大，求am(mod n)时也不会占用很多空间。
代码实现：
//随机化算法 蒙特卡罗算法 素数测试问题 //#include "stdafx.h" #include "RandomNumber.h" #include <cmath> #include <iostream> using namespace std; //计算a^p mod n,并实施对n的二次探测 void power(unsigned int a,unsigned int p,unsigned int n,unsigned int &result,bool &composite) { unsigned int x; if(p == 0) { result = 1; } else { power(a,p/2,n,x,composite); //递归计算 result = (x*x)%n; //二次探测 if((result == 1) && (x!=1) && (x!=n-1)) { composite = true; } if((p%2)==1) { result = (result*a)%n; } } } //重复调用k次Prime算法的蒙特卡罗算法 bool PrimeMC(unsigned int n,unsigned int k) { RandomNumber rnd; unsigned int a,result; bool composite = false; for(int i=1; i<=k; i++) { a = rnd.Random(n-3)+2; power(a,n-1,n,result,composite); if(composite || (result!=1)) { return false; } } return true; } int main() { int k = 10; for(int i=1010;i<1025;i++) { cout<<i<<"的素数测试结果为："<<PrimeMC(i,k)<<endl; } return 0; }