polya burnside 专题

polya题目：uva 11077 Find the Permutations
uva 10294 Arif in Dhaka
LA 3641 Leonardo's Notebook
uva 11077 Find the Permutations
HOJ 2084 The Colored Cubes
HOJ 2647 Megaminx
POJ 1286 Necklace of Beads
POJ 2409 Let it Bead
TOJ 2795 The Queen's New Necklaces
HDU 1812 Count the Tetris
UVa 11255 Necklace
POJ 2154 Color
POJ 2888 Magic Bracelet
UVa 10601 Cubes
NUAA 1110

 

uva 10294 Arif in Dhaka(项链和手镯)

题目大意:项链和手镯都是由若干珠子穿成的环形首饰，区别在于手镯可以翻转，但项链不可以。输入整数n和t，输出用t种颜色的n颗珠子（每种颜色的珠子个数无限制，但珠子总数必须是n）能制作成的项链和手镯个数。

分析：一共有两种置换，即旋转和翻转，其中项链只有第一种置换，而手镯有两种。

旋转：如果逆时针旋转i颗珠子的间距，则珠子0、i、2i、....构成一个循环。这个循环有n/gcd(i,n)个元素。根据对称性所有循环的长度均相同，因此一共有gcd(i,n)个循环。这些置换的不动点总数a=Σt^gcd(i,n),(0<i<n)。

 

翻转：需要分两种情况讨论。当n为奇数时，对称轴有n条，每条对称轴形成(n-1)/2个长度为2的循环和一个长度为1的循环，即(n+1)/2个循环。这些置换不动点总数为b=nt^(n+1)/2 。当n为偶数时，有两种对称轴。穿过珠子的对称轴有n/2条，各形成n/2-1个长度为2的循环和2个长度为1的循环；不穿过珠子的对称轴有n/2条，各形成n/2个长度为2的循环。这些置换不动点的总数b=n/2(t^n/2+1+t^n/2)。

 

#include<iostream>
using namespace std;

typedef long long  LL;
LL power[55];

int gcd(int a,int b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

int main()
{
    int n,i,t;
    LL a,b;
    power[0]=1;
    while(cin>>n>>t)
    {
        for(i=1;i<=n;i++) power[i]=power[i-1]*t;
        a=0;
        for(i=0;i<n;i++) 
            a+=power[gcd(i,n)];
        if(n%2) b=n*power[(n+1)/2];
        else b=n/2*(power[n/2+1]+power[n/2]);
        cout<<a/n<<" "<<(a+b)/2/n<<endl;
    }
    return 0;
}

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