2017 01 16 校内小测 ZXR专场

我等蒟蒻爆零之后，问LincHpin大爷：“此等神题可有甚么来头？”

LincHpin:“此三题皆为当年ZXR前辈所留。”

固名之，ZXR专场，233~~~

 

 

这个题在BZOJ和HDU上都有身影，一样不一样的吧，反正意思差不多，想法也很相近。

 

首先就是发现mex函数的一个性质——当左端点固定时，函数值随右端点单调，即$mex(i,j) \leq mex(i,j+1)$。

然后，我们这么做：先$O(N)$求出以1位左端点，右端点分别为$i=1..n$的mex函数值，然后不断将左端点向右移动。

当左端点从$i$移动到$i+1$时，会使得$num_{i}$从维护序列中消失，考虑对那些mex函数值的影响。

首先，$mex_{1}$到$mex_{i}$的函数值已经没用了，可以忽略。

如果我们已经知道$num_{i}$下一次出现的位置是$next_{i}$，那么从$i$到$next_{i}-1$区间内的所有mex值都应当对$num_{i}$取min。

又因为mex函数值一直保持单调性，所有可以二分出来需要修改的区间，然后就变成了区间修改，区间求和，那就是线段树了。

 

  1 #include <cstdio>
  2 #include <cstring>
  3 
  4 inline char nextChar(void)
  5 {
  6     static const int siz = 1 << 20;
  7     
  8     static char buf[siz];
  9     static char *hd = buf + siz;
 10     static char *tl = buf + siz;
 11     
 12     if (hd == tl)
 13         fread(hd = buf, 1, siz, stdin);
 14     
 15     return *hd++;
 16 }
 17 
 18 inline int nextInt(void)
 19 {
 20     register int ret = 0;
 21     register bool neg = false;
 22     register char bit = nextChar();
 23     
 24     for (; bit < 48; bit = nextChar())
 25         if (bit == '-')neg ^= true;
 26     
 27     for (; bit > 47; bit = nextChar())
 28         ret = ret * 10 + bit - '0';
 29     
 30     return neg ? -ret : ret;
 31 }
 32 
 33 typedef long long lnt;
 34 
 35 const int siz = 500005;
 36 
 37 int n, num[siz];
 38 
 39 int nxt[siz];
 40 int lst[siz];
 41 int mex[siz];
 42 
 43 bool vis[siz];
 44 
 45 inline void prework(void)
 46 {
 47     for (int i = 0; i <= n; ++i)
 48         lst[i] = n + 1;
 49     
 50     for (int i = n; i >= 1; --i)
 51     {
 52         nxt[i] = lst[num[i]];
 53         lst[num[i]] = i;
 54     }
 55     
 56     memset(vis, false, sizeof(vis));
 57     
 58     int ans = 0;
 59     
 60     for (int i = 1; i <= n; ++i)
 61     {
 62         vis[num[i]] = true;
 63         
 64         while (vis[ans])
 65             ++ans;
 66         
 67         mex[i] = ans;
 68     }
 69 }
 70 
 71 lnt sum[siz << 2];
 72 lnt tag[siz << 2];
 73 int son[siz << 2];
 74 
 75 void build(int t, int l, int r)
 76 {
 77     tag[t] = -1;
 78     
 79     if (l == r)
 80         sum[t] = son[t] = mex[l];
 81     else
 82     {
 83         int mid = (l + r) >> 1;
 84         
 85         build(t << 1, l, mid);
 86         build(t << 1 | 1, mid + 1, r);
 87         
 88         son[t] = son[t << 1 | 1];
 89         sum[t] = sum[t << 1] + sum[t << 1 | 1];
 90     }
 91 }
 92 
 93 inline void addtag(int t, lnt v, lnt k)
 94 {
 95     son[t] = v;
 96     tag[t] = v;
 97     sum[t] = v * k;
 98 }
 99 
100 inline void pushdown(int t, int l, int r)
101 {
102     int mid = (l + r) >> 1;
103     addtag(t << 1, tag[t], mid - l + 1);
104     addtag(t << 1 | 1, tag[t], r - mid);
105     tag[t] = -1;
106 }
107 
108 lnt query(int t, int l, int r, int x, int y)
109 {
110     if (l == x && r == y)
111         return sum[t];
112     else
113     {
114         if (~tag[t])
115             pushdown(t, l, r);
116         
117         int mid = (l + r) >> 1;
118         
119         if (y <= mid)
120             return query(t << 1, l, mid, x, y);
121         else if (x > mid)
122             return query(t << 1 | 1, mid + 1, r, x, y);
123         else return
124             query(t << 1, l, mid, x, mid)
125         +    query(t << 1 | 1, mid + 1, r, mid + 1, y);
126     }
127 }
128 
129 int query(int t, int l, int r, int v)
130 {
131     if (son[t] <= v)
132         return n + 1;
133     
134     if (l == r)
135         return l;
136         
137     if (~tag[t])
138         pushdown(t, l, r);
139     
140     int mid = (l + r) >> 1;
141     
142     int s = son[t << 1];
143     
144     if (s > v)
145         return query(t << 1, l, mid, v);
146     else
147         return query(t << 1 | 1, mid + 1, r, v);
148 }
149 
150 void change(int t, int l, int r, int x, int y, lnt v)
151 {
152     if (l == x && r == y)
153         addtag(t, v, r - l + 1);
154     else
155     {
156         if (~tag[t])
157             pushdown(t, l, r);
158         
159         int mid = (l + r) >> 1;
160         
161         if (y <= mid)
162             change(t << 1, l, mid, x, y, v);
163         else if (x > mid)
164             change(t << 1 | 1, mid + 1, r, x, y, v);
165         else
166         {
167             change(t << 1, l, mid, x, mid, v);
168             change(t << 1 | 1, mid + 1, r, mid + 1, y, v);
169         }
170         
171         son[t] = son[t << 1 | 1];
172         sum[t] = sum[t << 1] + sum[t << 1 | 1];
173     }
174 }
175 
176 inline void solve(void)
177 {
178     lnt ans = 0LL;
179     
180     prework();
181     
182     build(1, 1, n);
183     
184     for (int i = 1; i <= n; ++i)
185     {
186         ans += query(1, 1, n, i, n);
187          
188         int pos = query(1, 1, n, num[i]);    // first > num[i]
189         
190         if (pos <= nxt[i] - 1)
191             change(1, 1, n, pos, nxt[i] - 1, num[i]);
192     }
193     
194     printf("%lld\n", ans);
195 }
196 
197 signed main(void)
198 {
199     freopen("mex.in", "r", stdin);
200     freopen("mex.out", "w", stdout);
201     
202     n = nextInt();
203     
204     for (int i = 1; i <= n; ++i)
205         num[i] = nextInt();
206         
207     for (int i = 1; i <= n; ++i)
208         if (num[i] > n)
209             num[i] = n;
210         
211     solve();
212         
213     fclose(stdin);
214     fclose(stdout);
215     
216     return 0;
217 }

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