[ZZ]Pollard Rho算法思想

1975年，John M. Pollard提出了第二种因数分解的方法。Pollard rho因数分解方法基于下列几点：

(1) 假定有两个整数 和 使得p可以整除-，但是n不能整除 。

(2) 可以证明 。因为p可以整除- ，可以写成 。但是，因为n不能整除-，很明显q不能整除n。这就表明 既可以是1也可以是n的一个因数。

下列算法重复选择和，直到求出一个合适的对。

(1) 选择，一个小的随机整数称为种子。

(2) 运用函数算出，使得n不能整除 。这里所用的一个函数也许就是 =  (a通常选作1)。

(3) 计算 。如果它不是1，结果是n的一个因数；如果它是1，返回到步骤1并用重复这个过程。现在我们计算 。注意，在下一轮中，我们以开始，如此这般。如果我们运用Pollard rho算法列出x的值，就会发现最终要重复的这个值，创建一个和希腊字母rho ( )一样的形状，如图9-3所示。

图9-3 Pollard rho连续数

为了减少反复的次数，算法做了一些改进。该算法用数对( , )开始，并且用 ，迭代计算 。在每一次迭代中，我们都应用上述函数式运算(从第二步)第一次计算数对中的第一个元素，第二次计算数对中的第二个元素(参看算法9.6)。

算法 9.6 Pollard rho方法的伪代码

复杂度 这种方法需要算术运算 。不过，因为我们希望p小于或等于 ，我们希望做 算术运算。这就是说比特操作复杂度是 ，它是指数增长的。