ACM学习历程—HYSBZ 2818 Gcd(欧拉函数 || 莫比乌斯反演)

 

 

Description

给定整数N，求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的
数对(x,y)有多少对.

Input

一个整数N

Output

如题

Sample Input

4

Sample Output

4

Hint

对于样例(2,2),(2,4),(3,3),(4,2)

1<=N<=10^7

 

这个题目可以用欧拉函数或者莫比乌斯反演。

第一种欧拉函数：

因为gcd(x, y) = p，所以gcd(x/p, y/p) = 1。

不妨设y较大，那么就是求所有比y/p小的数k，phi(k)的和。phi(k)是欧拉函数，表示小于等于k，与k互质的数的个数。

然后每种乘2就得到了组数，但是需要减1，因为(1, 1)这组被计算了两次。

预处理所有phi(k)的前缀和就OK了，就能加速运算。

然后枚举质数p就OK了。

 

这个OJ我揣测是单组测试的，像下面预处理打表会T，需要对每个n进行一次打表。

 代码：（欧拉函数）

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <string>
#include <algorithm>
#define LL long long

using namespace std;

const int maxN = 1e7+5;
int n;
bool isprim[maxN];
int phi[maxN], prim[maxN], top;
LL s[maxN];

//埃氏筛法求素数
void isPrim()
{
    top = 0;
    memset(isprim, true, sizeof(isprim));
    isprim[0] = isprim[1] = false;//初始化
    for (LL i = 2; i < maxN; ++i)//筛法
    {
        if (isprim[i])
        {
            for (LL j = i*i; j < maxN; j += i)//上界太大可能会爆int
            {
                isprim[j] = false;
            }
            prim[top++] = i;
        }
    }
}

//***筛法求欧拉函数
void phi_table()
{
    memset(phi, 0, sizeof(phi));
    phi[1] = 1;
    s[0] = 0;
    s[1] = 1;
    for (int i = 2; i < maxN; i++)
    {
        if (!phi[i])
            for (LL j = i; j < maxN; j += i)//i如果太大可能会爆int
            {
                if (!phi[j])
                    phi[j] = j;
                phi[j] = phi[j]/i*(i-1);
            }
        s[i] = s[i-1]+phi[i];
    }
}

void work()
{
    LL ans = 0;
    for (int i = 0; i < top && prim[i] <= n; ++i)
    {
        ans += 2*s[n/prim[i]];
        ans--;
    }
    printf("%lld\n", ans);
}

int main()
{
    //freopen("test.in", "r", stdin);
    isPrim();
    phi_table();
    while (scanf("%d", &n) != EOF)
    {
        work();
    }
    return 0;
}

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