机器学习之Adaboost (自适应增强)算法

注：本篇博文是根据其他优秀博文编写的，我只是对其改变了知识的排序，另外代码是《机器学习实战》中的。转载请标明出处及参考资料。

1 Adaboost 算法实现过程

1.1 什么是 Adaboost 算法

Adaboost是英文"Adaptive Boosting"（自适应增强）的缩写，它的自适应在于：前一个基本分类器被错误分类的样本的权值会增大，而正确分类的样本的权值会减小，并再次用来训练下一个基本分类器。同时，在每一轮迭代中，加入一个新的弱分类器，直到达到某个预定的足够小的错误率或达到预先指定的最大迭代次数才确定最终的强分类器。通俗地讲就是，将若干带有权值的弱分类器累加得到强分类器的过程。

1.2 Adaboost 算法的步骤

Adaboost算法可以简述为三个步骤：
（1）首先，是初始化训练数据的权值分布D1。假设有N个训练样本数据，则每一个训练样本最开始时，都被赋予相同的权值：w1=1/N。
（2）然后，训练弱分类器hi。具体训练过程中是：如果某个训练样本点，被弱分类器hi准确地分类，那么在构造下一个训练集中，它对应的权值要减小；相反，如果某个训练样本点被错误分类，那么它的权值就应该增大。权值更新过的样本集被用于训练下一个分类器，整个训练过程如此迭代地进行下去。
（3）最后，将各个训练得到的弱分类器组合成一个强分类器。各个弱分类器的训练过程结束后，加大分类误差率小的弱分类器的权重，使其在最终的分类函数中起着较大的决定作用，而降低分类误差率大的弱分类器的权重，使其在最终的分类函数中起着较小的决定作用。换而言之，误差率低的弱分类器在最终分类器中占的权重较大，否则较小。

1.3 Adaboost 算法流程

给定一个训练数据集T={(x1,y1), (x2,y2)…(xN,yN)}，其中实例 x 属于 Rn，yi 属于标记集合{-1,+1}，Adaboost的目的就是从训练数据中学习一系列弱分类器或基本分类器，然后将这些弱分类器组合成一个强分类器。

Adaboost 算法流程如下：

步骤1. 首先，初始化训练数据的权值分布。每一个训练样本最开始时都被赋予相同的权值：1/N。

 机器学习之Adaboost (自适应增强)算法

步骤2. 进行多轮迭代，用m = 1,2, ..., M表示迭代的第多少轮。

  a. 使用具有权值分布Dm的训练数据集学习，得到基本分类器（选取让误差率最低的阈值来设计基本分类器）：

机器学习之Adaboost (自适应增强)算法

  b. 计算Gm(x)在训练数据集上的分类误差率：

机器学习之Adaboost (自适应增强)算法

由上述式子可知，Gm(x)在训练数据集上的误差率em就是被Gm(x)误分类样本的权值之和。
  c. 计算Gm(x)的系数，αm表示Gm(x)在最终分类器中的重要程度（目的：得到基本分类器在最终分类器中所占的权重）：

机器学习之Adaboost (自适应增强)算法

由上述式子可知，em <= 1/2 时，αm >= 0，且αm 随着em 的减小而增大，意味着分类误差率越小的基本分类器在最终分类器中的作用越大。
 d. 更新训练数据集的权值分布（目的：得到样本的新的权值分布），用于下一轮迭代

机器学习之Adaboost (自适应增强)算法

使得被基本分类器Gm(x)误分类样本的权值增大，而被正确分类样本的权值减小。就这样，通过这样的方式，AdaBoost方法能“重点关注”或“聚焦于”那些较难分的样本上。
其中，Zm是规范化因子，使得Dm+1成为一个概率分布：

机器学习之Adaboost (自适应增强)算法

步骤3. 组合各个弱分类器

 机器学习之Adaboost (自适应增强)算法

从而得到最终分类器，如下：

 机器学习之Adaboost (自适应增强)算法

其中，sign（）是符号函数，取值为 {-1，0，1}。

 2 Adaboost 算法的原理说明

2.1 加法模型和前向分布算法

如下图所示的便是一个加法模型

机器学习之Adaboost (自适应增强)算法


其中，称为 b(x; γm) 基函数，γm 称为基函数的参数，βm 称为基函数的系数。
在给定训练数据及损失函数 L(y; f(x) ) 的条件下，学习加法模型 f (x) 成为经验风险极小化问题，即损失函数极小化问题：

机器学习之Adaboost (自适应增强)算法

随后，该问题可以作如此简化：从前向后，每一步只学习一个基函数及其系数，逐步逼近上式，即：每步只优化如下损失函数：

机器学习之Adaboost (自适应增强)算法


这个优化方法便就是所谓的前向分步算法。下面，咱们来具体看下前向分步算法的算法流程：

输入：训练数据集 机器学习之Adaboost (自适应增强)算法
损失函数：机器学习之Adaboost (自适应增强)算法
基函数集：机器学习之Adaboost (自适应增强)算法
输出：加法模型 机器学习之Adaboost (自适应增强)算法
算法步骤：

  • 1. 初始化机器学习之Adaboost (自适应增强)算法
  • 2. 对于m=1,2,..M
    • a)极小化损失函数

    机器学习之Adaboost (自适应增强)算法

    得到参数机器学习之Adaboost (自适应增强)算法和机器学习之Adaboost (自适应增强)算法。

    • b)更新

    机器学习之Adaboost (自适应增强)算法

  • 3. 最终得到加法模型
  • 机器学习之Adaboost (自适应增强)算法

        就这样，前向分步算法将同时求解从m=1到M的所有参数（机器学习之Adaboost (自适应增强)算法、机器学习之Adaboost (自适应增强)算法）的优化问题简化为逐次求解各个机器学习之Adaboost (自适应增强)算法、机器学习之Adaboost (自适应增强)算法（1≤m≤M）的优化问题。

 2.2 前向分布算法与 Adaboost 算法的关系

在上文第2.1节最后，我们说Adaboost 还有另外一种理解，即可以认为其模型是加法模型、损失函数为指数函数、学习算法为前向分步算法的二类分类学习方法。其实，Adaboost算法就是前向分步算法的一个特例，Adaboost 中，各个基本分类器就相当于加法模型中的基函数，且其损失函数为指数函数。
换句话说，当前向分步算法中的基函数为Adaboost中的基本分类器时，加法模型等价于Adaboost的最终分类器

机器学习之Adaboost (自适应增强)算法

你甚至可以说，这个最终分类器其实就是一个加法模型。只是这个加法模型由基本分类器机器学习之Adaboost (自适应增强)算法及其系数机器学习之Adaboost (自适应增强)算法组成，m = 1, 2, ..., M。前向分步算法逐一学习基函数的过程，与Adaboost算法逐一学习各个基本分类器的过程一致。

下面，咱们便来证明：当前向分步算法的损失函数是指数损失函数

机器学习之Adaboost (自适应增强)算法

    时，其学习的具体操作等价于Adaboost算法的学习过程。

 假设经过m-1轮迭代，前向分步算法已经得到机器学习之Adaboost (自适应增强)算法：

机器学习之Adaboost (自适应增强)算法

而后在第m轮迭代得到机器学习之Adaboost (自适应增强)算法、机器学习之Adaboost (自适应增强)算法和机器学习之Adaboost (自适应增强)算法。其中，机器学习之Adaboost (自适应增强)算法为：

机器学习之Adaboost (自适应增强)算法

而机器学习之Adaboost (自适应增强)算法和机器学习之Adaboost (自适应增强)算法未知。所以，现在咱们的目标便是根据前向分步算法训练机器学习之Adaboost (自适应增强)算法和机器学习之Adaboost (自适应增强)算法，使得最终机器学习之Adaboost (自适应增强)算法在训练数据集T上的指数损失最小，即

机器学习之Adaboost (自适应增强)算法

  针对这种需要求解多个参数的情况，可以先固定其它参数，求解其中一两个参数，然后逐一求解剩下的参数。例如我们可以固定机器学习之Adaboost (自适应增强)算法和机器学习之Adaboost (自适应增强)算法，只针对机器学习之Adaboost (自适应增强)算法和机器学习之Adaboost (自适应增强)算法做优化。

换言之，在面对机器学习之Adaboost (自适应增强)算法和机器学习之Adaboost (自适应增强)算法 这2m个参数都未知的情况下，可以：

  1. 先假定机器学习之Adaboost (自适应增强)算法和机器学习之Adaboost (自适应增强)算法已知，求解出机器学习之Adaboost (自适应增强)算法和机器学习之Adaboost (自适应增强)算法；
  2. 然后再逐一求解其它未知参数。

且考虑到上式中的机器学习之Adaboost (自适应增强)算法既不依赖机器学习之Adaboost (自适应增强)算法也不依赖G，所以是个与最小化无关的固定值，记为机器学习之Adaboost (自适应增强)算法，即机器学习之Adaboost (自适应增强)算法，则上式可以表示为（后面要多次用到这个式子，简记为机器学习之Adaboost (自适应增强)算法）：

机器学习之Adaboost (自适应增强)算法

值得一提的是，机器学习之Adaboost (自适应增强)算法虽然与最小化无关，但机器学习之Adaboost (自适应增强)算法依赖于机器学习之Adaboost (自适应增强)算法，随着每一轮迭代而发生变化。

    接下来，便是要证使得上式达到最小的机器学习之Adaboost (自适应增强)算法和机器学习之Adaboost (自适应增强)算法就是Adaboost算法所求解得到的机器学习之Adaboost (自适应增强)算法和机器学习之Adaboost (自适应增强)算法。

    为求解上式，咱们先求机器学习之Adaboost (自适应增强)算法再求机器学习之Adaboost (自适应增强)算法。

 首先求机器学习之Adaboost (自适应增强)算法。对于任意机器学习之Adaboost (自适应增强)算法，使上式机器学习之Adaboost (自适应增强)算法最小的G(x)由下式得到：

机器学习之Adaboost (自适应增强)算法

别忘了，机器学习之Adaboost (自适应增强)算法。

跟1.3节所述的误差率的计算公式对比下：

机器学习之Adaboost (自适应增强)算法

可知，上面得到的机器学习之Adaboost (自适应增强)算法便是Adaboost算法的基本分类器机器学习之Adaboost (自适应增强)算法，因为它是在第m轮加权训练数据时，使分类误差率最小的基本分类器。换言之，这个机器学习之Adaboost (自适应增强)算法便是Adaboost算法所要求的机器学习之Adaboost (自适应增强)算法，别忘了，在Adaboost算法的每一轮迭代中，都是选取让误差率最低的阈值来设计基本分类器。

然后求机器学习之Adaboost (自适应增强)算法。还是回到之前的这个式子机器学习之Adaboost (自适应增强)算法上：

机器学习之Adaboost (自适应增强)算法

 这个式子的后半部分可以进一步化简，得：

机器学习之Adaboost (自适应增强)算法

 接着将上面求得的机器学习之Adaboost (自适应增强)算法

机器学习之Adaboost (自适应增强)算法

代入上式中，且对机器学习之Adaboost (自适应增强)算法求导，令其求导结果为0，即得到使得机器学习之Adaboost (自适应增强)算法一式最小的机器学习之Adaboost (自适应增强)算法，即为：

机器学习之Adaboost (自适应增强)算法

这里的机器学习之Adaboost (自适应增强)算法跟上文1.3节中机器学习之Adaboost (自适应增强)算法的计算公式完全一致。

    此外，毫无疑问，上式中的机器学习之Adaboost (自适应增强)算法便是误差率：

机器学习之Adaboost (自适应增强)算法

 即机器学习之Adaboost (自适应增强)算法就是被Gm(x)误分类样本的权值之和。

就这样，结合模型机器学习之Adaboost (自适应增强)算法，跟机器学习之Adaboost (自适应增强)算法，可以推出

机器学习之Adaboost (自适应增强)算法

从而有：

机器学习之Adaboost (自适应增强)算法

与上文1.3节介绍的权值更新公式

机器学习之Adaboost (自适应增强)算法

 相比，只相差一个规范化因子，即后者多了一个 Zm

机器学习之Adaboost (自适应增强)算法

所以，整个过程下来，我们可以看到，前向分步算法逐一学习基函数的过程，确实是与Adaboost算法逐一学习各个基本分类器的过程一致，两者完全等价。

2.3 Adaboost 算法的误差界

Adaboost在学习的过程中不断减少训练误差e，直到各个弱分类器组合成最终分类器，那这个最终分类器的误差界到底是多少呢？事实上，Adaboost 最终分类器的训练误差的上界为：

机器学习之Adaboost (自适应增强)算法

下面，咱们来通过推导来证明下上述式子。

当G(xi)≠yi时，yi*f(xi)<0，因而exp(-yi*f(xi))≥1，因此前半部分得证。

关于后半部分，别忘了：

机器学习之Adaboost (自适应增强)算法

整个的推导过程如下：

机器学习之Adaboost (自适应增强)算法

这个结果说明，可以在每一轮选取适当的Gm使得Zm最小，从而使训练误差下降最快。接着，咱们来继续求上述结果的上界。

对于二分类而言，有如下结果：

机器学习之Adaboost (自适应增强)算法

  其中，机器学习之Adaboost (自适应增强)算法。

继续证明下这个结论。

    由之前Zm的定义式跟本节最开始得到的结论可知：

机器学习之Adaboost (自适应增强)算法

而这个不等式机器学习之Adaboost (自适应增强)算法可先由e^x和1-x的开根号，在点x的泰勒展开式推出。值得一提的是，如果取γ1, γ2… 的最小值，记做γ（显然，γ≥γi>0，i=1,2,...m），则对于所有m，有：

机器学习之Adaboost (自适应增强)算法

这个结论表明，AdaBoost的训练误差是以指数速率下降的。另外，AdaBoost算法不需要事先知道下界γ，AdaBoost具有自适应性，它能适应弱分类器各自的训练误差率 。

3 Adaboost 算法用 Python 实现

3.1 数据集

这里的数据是《机器学习实战》的马疝病数据，包括：训练集的名称 'horseColicTraining2.txt'，测试集的名称 'horseColicTest2.txt'。具体数据如下：

  1 2.000000    1.000000    38.500000    66.000000    28.000000    3.000000    3.000000    0.000000    2.000000    5.000000    4.000000    4.000000    0.000000    0.000000    0.000000    3.000000    5.000000    45.000000    8.400000    0.000000    0.000000    -1.000000
  2 1.000000    1.000000    39.200000    88.000000    20.000000    0.000000    0.000000    4.000000    1.000000    3.000000    4.000000    2.000000    0.000000    0.000000    0.000000    4.000000    2.000000    50.000000    85.000000    2.000000    2.000000    -1.000000
  3 2.000000    1.000000    38.300000    40.000000    24.000000    1.000000    1.000000    3.000000    1.000000    3.000000    3.000000    1.000000    0.000000    0.000000    0.000000    1.000000    1.000000    33.000000    6.700000    0.000000    0.000000    1.000000
  4 1.000000    9.000000    39.100000    164.000000    84.000000    4.000000    1.000000    6.000000    2.000000    2.000000    4.000000    4.000000    1.000000    2.000000    5.000000    3.000000    0.000000    48.000000    7.200000    3.000000    5.300000    -1.000000
  5 2.000000    1.000000    37.300000    104.000000    35.000000    0.000000    0.000000    6.000000    2.000000    0.000000    0.000000    0.000000    0.000000    0.000000    0.000000    0.000000    0.000000    74.000000    7.400000    0.000000    0.000000    -1.000000
  6 2.000000    1.000000    0.000000    0.000000    0.000000    2.000000    1.000000    3.000000    1.000000    2.000000    3.000000    2.000000    2.000000    1.000000    0.000000    3.000000    3.000000    0.000000    0.000000    0.000000    0.000000    1.000000
  7 1.000000    1.000000    37.900000    48.000000    16.000000    1.000000    1.000000    1.000000    1.000000    3.000000    3.000000    3.000000    1.000000    1.000000    0.000000    3.000000    5.000000    37.000000    7.000000    0.000000    0.000000    1.000000
  8 1.000000    1.000000    0.000000    60.000000    0.000000    3.000000    0.000000    0.000000    1.000000    0.000000    4.000000    2.000000    2.000000    1.000000    0.000000    3.000000    4.000000    44.000000    8.300000    0.000000    0.000000    -1.000000
  9 2.000000    1.000000    0.000000    80.000000    36.000000    3.000000    4.000000    3.000000    1.000000    4.000000    4.000000    4.000000    2.000000    1.000000    0.000000    3.000000    5.000000    38.000000    6.200000    0.000000    0.000000    -1.000000
 10 2.000000    9.000000    38.300000    90.000000    0.000000    1.000000    0.000000    1.000000    1.000000    5.000000    3.000000    1.000000    2.000000    1.000000    0.000000    3.000000    0.000000    40.000000    6.200000    1.000000    2.200000    1.000000
 11 1.000000    1.000000    38.100000    66.000000    12.000000    3.000000    3.000000    5.000000    1.000000    3.000000    3.000000    1.000000    2.000000    1.000000    3.000000    2.000000    5.000000    44.000000    6.000000    2.000000    3.600000    1.000000
 12 2.000000    1.000000    39.100000    72.000000    52.000000    2.000000    0.000000    2.000000    1.000000    2.000000    1.000000    2.000000    1.000000    1.000000    0.000000    4.000000    4.000000    50.000000    7.800000    0.000000    0.000000    1.000000
 13 1.000000    1.000000    37.200000    42.000000    12.000000    2.000000    1.000000    1.000000    1.000000    3.000000    3.000000    3.000000    3.000000    1.000000    0.000000    4.000000    5.000000    0.000000    7.000000    0.000000    0.000000    1.000000
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