"《算法导论》之‘树’"：AVL树

　　本文关于AVL树的介绍引自博文AVL树(二)之 C++的实现，与二叉查找树相同的部分则不作介绍直接引用；代码实现是在本文的基础上自己实现且继承自上一篇博文二叉查找树。

　　AVL树是高度平衡的而二叉树。它的特点是：AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1。

　　 "《算法导论》之‘树’"：AVL树

　　上面的两张图片，左边的是AVL树，它的任何节点的两个子树的高度差别都<=1；而右边的不是AVL树，因为7的两颗子树的高度相差为2(以2为根节点的树的高度是3，而以8为根节点的树的高度是1)。

2.节点的旋转

　　如果在AVL树中进行插入或删除节点后，可能导致AVL树失去平衡。这种失去平衡的可以概括为4种姿态：LL(左左)，LR(左右)，RR(右右)和RL(右左)。下面给出它们的示意图：

　　 "《算法导论》之‘树’"：AVL树

　　上图中的4棵树都是"失去平衡的AVL树"，从左往右的情况依次是：LL、LR、RL、RR。除了上面的情况之外，还有其它的失去平衡的AVL树，如下图：

　　 "《算法导论》之‘树’"：AVL树

　　上面的两张图都是为了便于理解，而列举的关于"失去平衡的AVL树"的例子。总的来说，AVL树失去平衡时的情况一定是LL、LR、RL、RR这4种之一，它们都由各自的定义：

　　(1) LL：LeftLeft，也称为"左左"。插入或删除一个节点后，根节点的左子树的左子树还有非空子节点，导致"根的左子树的高度"比"根的右子树的高度"大2，导致AVL树失去了平衡。
例如，在上面LL情况中，由于"根节点(8)的左子树(4)的左子树(2)还有非空子节点"，而"根节点(8)的右子树(12)没有子节点"；导致"根节点(8)的左子树(4)高度"比"根节点(8)的右子树(12)"高2。

　　(2) LR：LeftRight，也称为"左右"。插入或删除一个节点后，根节点的左子树的右子树还有非空子节点，导致"根的左子树的高度"比"根的右子树的高度"大2，导致AVL树失去了平衡。
例如，在上面LR情况中，由于"根节点(8)的左子树(4)的左子树(6)还有非空子节点"，而"根节点(8)的右子树(12)没有子节点"；导致"根节点(8)的左子树(4)高度"比"根节点(8)的右子树(12)"高2。

　　(3) RL：RightLeft，称为"右左"。插入或删除一个节点后，根节点的右子树的左子树还有非空子节点，导致"根的右子树的高度"比"根的左子树的高度"大2，导致AVL树失去了平衡。
例如，在上面RL情况中，由于"根节点(8)的右子树(12)的左子树(10)还有非空子节点"，而"根节点(8)的左子树(4)没有子节点"；导致"根节点(8)的右子树(12)高度"比"根节点(8)的左子树(4)"高2。

　　(4) RR：RightRight，称为"右右"。插入或删除一个节点后，根节点的右子树的右子树还有非空子节点，导致"根的右子树的高度"比"根的左子树的高度"大2，导致AVL树失去了平衡。
例如，在上面RR情况中，由于"根节点(8)的右子树(12)的右子树(14)还有非空子节点"，而"根节点(8)的左子树(4)没有子节点"；导致"根节点(8)的右子树(12)高度"比"根节点(8)的左子树(4)"高2。

　　前面说过，如果在AVL树中进行插入或删除节点后，可能导致AVL树失去平衡。AVL失去平衡之后，可以通过旋转使其恢复平衡，下面分别介绍"LL(左左)，LR(左右)，RR(右右)和RL(右左)"这4种情况对应的旋转方法。

2.1 LL的旋转

　　LL失去平衡的情况，可以通过一次旋转让AVL树恢复平衡。如下图：

　　 "《算法导论》之‘树’"：AVL树

　　图中左边是旋转之前的树，右边是旋转之后的树。从中可以发现，旋转之后的树又变成了AVL树，而且该旋转只需要一次即可完成。
　　对于LL旋转，你可以这样理解为：LL旋转是围绕"失去平衡的AVL根节点"进行的，也就是节点k2；而且由于是LL情况，即左左情况，就用手抓着"左孩子，即k1"使劲摇。将k1变成根节点，k2变成k1的右子树，"k1的右子树"变成"k2的左子树"。

　　代码如下：

 1 // LL：左左对应的情况(左单旋转)。
 2 template<class T>
 3 Node<T> * AVLTree<T>::leftLeftRotation(Node<T>* k2)
 4 {
 5     NodePointer k1 = NULL, k2ParentPtr = NULL;
 6 
 7     k1 = k2->left;
 8     if (k2 != root)
 9     {
10         k2ParentPtr = k2->parent;
11         if (k2ParentPtr->left == k2)
12         {
13             k2ParentPtr->left = k1;
14         }
15         else
16         {
17             k2ParentPtr->right = k1;
18         }
19         k1->parent = k2ParentPtr;
20     }
21     else
22     {
23         k1->parent = NULL;
24     }
25 
26     k2->left = k1->right;
27     k1->right = k2;
28     k2->parent = k1;
29 
30     if (k2->left != NULL)
31     {
32         NodePointer tmpK2Left = k2->left;
33         tmpK2Left->parent = k2;
34     }
35 
36     return k1;
37 }

leftLeftRotation