Coloring

Vertex Coloring

程度★　難度★

Vertex Coloring

「點著色」。替一張圖上的每個點塗上顏色，並且規定以邊相連的相鄰兩點不可同色。

UVa 193 10004

Vertex Chromatic Number

「點著色數」、「最小點著色數」，著色一張圖至少所需要的顏色種類數目；換個方式說，用「點著色數」種顏色，就足以著色一張圖。

數學領域中把一張圖 G 的最小點著色數標記為 χ(G) 。除了一些特例以外，求最小點著色數是 NP-Complete 問題，通常發生在 χ(G) ≥ 3 的時候。

G沒有點和邊：χ(G) = 0
G沒有邊：χ(G) ≤ 1
G為二分圖（Bipartite Graph）：χ(G) ≤ 2
G為平面圖（Planar Graph）：χ(G) ≤ 4（四色定理）
G為完全圖（Complete Graph）：χ(G) = V

數學領域中把一張圖 G 的最大 degree 標記為 Δ(G) 。

G連通，每個點的連接邊數不同（non-regular）：χ(G) ≤ Δ(G)
G的每個點的連接邊數相同（k-regular）：χ(G) ≤ k + 1

k-vertex-colorable （ k-colorable ）

一張圖若能以 k 種顏色著色，則稱這張圖為 k-vertex-colorable 。要確定一張圖是不是 k-vertex-colorable 是 NP-Complete 問題。

UVa 10052

演算法：無向圖點著色（ Welsh-Powell Algorithm ）

一個簡單的 Greedy 演算法，找出其中一種點著色，但是不保證著色數最小。

首先把圖上每個點，依照 degree 由大到小排序，然後一一塗色。每一個點都先嘗試塗第一種顏色，若牴觸了已塗色的點，就換下一種顏色，直到顏色不牴觸為止。

每個點的度數範圍都只有 0 到 V-1 （不考慮多重的邊、不考慮自己連向自己的邊），故排序時可以採用 Counting Sort ，時間複雜度是 O(V) 。

每個點都著色的時間複雜度等同一次 Graph Traversal 的時間，如果圖的資料結構為 adjacency matrix 就是 O(V^2) ，如果圖的資料結構為 adjacency lists 就是 O(V+E) 。

 
int adj[8][8];  // adjacency matrix

int degree[8];  // 記錄各個點的degree數目

int color[8];   // 記錄各個點用了哪一種顏色，-1代表沒有塗色。

bool used[8];   // 上色一個點時，記錄各種顏色是否可用。

                // 一張圖上色最多只需V種顏色，故陣列大小設為V。
 
void Welsh_Powell()
{

    // 一開始每個點都設為尚未塗色

    memset(color, -1, sizeof(color));
 
    // 計算各個點的degree，O(V^2)。

    memset(degree, 0, sizeof(degree));

    for (int i=0; i<8; ++i)

        for (int j=0; j<8; ++j)

            if (i != j && adj[i][j])

                degree[i]++;
 
    // 依照degree由大到小排序。O(V)。

    Counting_Sort();
 
    // 依照順序替各個點塗色。O(V^2)。

    for (int i=0; i<8; ++i)
    {

        // 先把鄰點所用的顏色都記錄起來

        memset(used, false, sizeof(used));

        for (int j=0; j<8; ++j)

            if (i != j && adj[i][j] && color[j] != -1)

                used[color[j]] = true;
 
        // 最差的情況就是此顏色與所有鄰點都不同色

        for (int j=0; j<degree[i]+1; ++j)

            if (!used[j])
            {

                color[i] = j;

                break;
            }
    }
}

UVa 10471

演算法：二分圖點著色

Graph Traversal 即可判斷一張圖是否為二分圖，同時也能找出其中一種點著色，並且保證點著色數最小。

演算法：平面圖點著色（ Four Color Theorem ）

四色定理。給定一張真實的地圖，是否能用四種顏色，就把這張地圖上的每塊區域都塗上顏色，並且相鄰的區域不得同顏色。兩塊區域僅以點接觸，則不算相鄰；兩塊區域以邊接觸，才算是相鄰。

這樣的一張地圖其實可以化做圖論中的平面圖（ planar graph ），平面圖的定義是沒有重疊的邊的一張圖；另外要是我們移動圖上的點和邊，而讓邊不重疊，如此也算是一張平面圖。

目前四色定理的證明方式，是把所有的圖精簡成幾種基本款式，再用電腦逐一驗證是否能四著色。

最初的證明，共有一千多種基本款式， 1997 年基本款式已被降到六百多種，然後也發明了一個 O(N^2) 四著色演算法（不保證著色數最小）：

http://people.math.gatech.edu/~thomas/FC/fourcolor.html

有些數學家認為，電腦窮舉不是一個嚴謹的、具有數學意義的證明方式，所以這個問題現今仍有人在持續研究。

下面提供一些個人想法，睡不著時加減想的，應該有誤：

甲、零個點、一個點、兩個點、三個點、四個點的圖，每個點分別塗一種顏色也不會超過四種顏色，所以應該不太需要證明了。

乙、點著色的問題，圖上的邊越多，限制就越多。完全圖（ complete graph ）的邊是最多的，所以只要完全圖可以解決，那麼只要從完全圖上刪掉幾條邊，其他邊比較少的圖也都可以解決了。因此，這裡我們考慮一下四個點的完全圖。

丙、由於點的編號順序是無所謂的，不失一般性，這裡我們規定前三點是最外圍的點，而之後的點皆會落在前三點所構成的範圍裡面。四個點一共將整個範圍切成四塊區域。（有一個特例是點剛好在邊上，留待最後討論。）

丁、第五點會落在這四塊區域的其中一塊。當然依照我們的順序規定，第五點是不可能落在第四塊區域的。若是第五點落在第一塊區域，那麼就將第五點塗上在他外邊對頂的那個點的顏色。其他區域也是類似的。

戊、決定第五點後，以 Divide and Conquer 的觀點來看，構成了一個子問題。其他的區域也還是可以再放入點。放好所有點之後，只要刪除了其中的邊，就可以做出任意一種平面圖了。

己、之前有個點在邊上的特例還沒解決。如果把點放在邊上面，可以歸類成三種情形：甲、放在最外圍的邊，乙、放在裡面的邊，但是邊的兩邊區域能容忍的顏色不相同，丙、放在裡面的邊，邊的兩邊能容忍的顏色相同。其中甲和丙都是合法操作，而乙則是不合法操作，可由別的方式來做出一樣的圖。

庚、最後再提供一種想法：被分割的區域們其實又形成了一個四色圖問題。

以上就是我想到的證明。謝謝收看。

转载自：http://www.csie.ntnu.edu.tw/~u91029/Coloring.html