前言？
终于放假了~~感觉再不趁机颓会儿我博客就废了……
赶紧写点东西刷刷存在感（骗点积分）
莫比乌斯函数
定义一种函数$\mu(d)$，满足：
1.若$d=1$，则$\mu(d)=1$。
2.若$d=p_1p_2p_3\cdots p_k$且$p_i$为互异素数时，$\mu(d)=(-1)^k$。
3.其他情况$\mu(d)=0$。
那么我们将函数$\mu(d)$称作莫比乌斯函数。
看上去很NB？
通俗一点，就是对于1来说$\mu(1)=1$，其他数的话若数d包含相同质因子则$\mu(d)=0$，若质因子各不相同，那么若x有奇数个质因子$\mu(d)=-1$，否则$\mu(d)=1$。
莫比乌斯函数有许多神奇的性质（就知道两个）：
性质一：$\sum\limits_{d|n}\mu(d) = [n==1]$
证明：
[n==1]意思就是当且仅当n=1时返回1，否则返回0。
$n=1$时显然成立。
$n \neq 1$时，首先对于$\mu(d)=0$的情况我们可以直接忽略，只需考虑$\mu(d)\neq 0$，即$d=p_1^{c_1}p_2^{c_2}\cdots p_k^{c_k}$且对于$\forall i\in [1,k]\ c_i=1$的情况。
设$n=p_1^{c_1}p_2^{c_2}\cdots p_i^{c_i}$，则d的质因子个数是j的情况一共有$C_i^j$种。
那么根据莫比乌斯函数的定义我们可以得到\begin{array}{lcl}\sum\limits_{d|n}\mu(d) & = & C_i^0-C_i^1+C_i^2-\cdots +(-1)^iC_i^i \\& = & \sum\limits_{j=0}^i(-1)^jC_i^j \end{array}
就是说我们只需要证明$\sum\limits_{j=0}^i(-1)^jC_i^j = 0$就可以了。
这个东西就是个裸的二项式定理，不会二项式定理的话可以参考我的另一篇博客（又开始骗阅读了）。
于是我们就愉快的证明出了性质一。
性质二：$\sum\limits_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\phi(n)}{n}$
其中$\phi(n)$为欧拉函数（来看莫比乌斯反演的应该不会不知道吧……）。
这个性质会在下面讲狄利克雷卷积时证明。
求法：
求单个数的莫比乌斯函数直接分解质因数即可。
若求1～n项的莫比乌斯函数值，我们可以用Eratosthenes筛法计算。
#include<cstdio> using namespace std; int const N=1e5+5; int miu[N]; bool v[N]; inline void get_miu(int n){ for(register int i=1;i<=n;++i) miu[i]=1; for(register int i=2;i<=n;++i){ if(v[i])continue; miu[i]=-1; for(register int j=i<<1;j<=n;j+=i){ v[j]=1; if((j/i)%i)miu[j]=-miu[j]; else miu[j]=0; } } return ; } int main(){ int n; scanf("%d",&n); get_miu(n); return 0; }