「一本通 6.6 练习 8」礼物

Description

原题来自：BZOJ 2142

一年一度的圣诞节快要来到了。每年的圣诞节小 E 都会收到许多礼物，当然他也会送出许多礼物。不同的人物在小 E 心目中的重要性不同，在小 E 心中分量越重的人，收到的礼物会越多。

小 E 从商店中购买了 n 件礼物，打算送给 m 个人，其中送给第 iii 个人礼物数量为 w_i​i​​。请你帮忙计算出送礼物的方案数（两个方案被认为是不同的，当且仅当存在某个人在这两种方案中收到的礼物不同）。由于方案数可能会很大，你只需要输出模 PPP 后的结果。

Input

输入的第一行包含一个正整数 P，表示模数；

第二行包含两个正整数 n 和 m，分别表示小 E 从商店购买的礼物数和接受礼物的人数；

以下 mmm 行每行仅包含一个正整数 w_ii​​，表示小 E 要送给第 iii 个人的礼物数量。

Output

若不存在可行方案，则输出 Impossible，否则输出一个整数，表示模 P 后的方案数。

Sample Input

100
4 2
1
2

Sample Output

12

Sample Explaination

12 种方案详情如下： {1}{2,3},{1}{2,4},{1}{3,4},{2}{1,3},{2}{1,4},{2}{3,4},{3}{1,2},{3}{1,4},{3}{2,4},{4}{1,2},{4}{1,3},{4}{2,3}

 Hint

设 P=p₁^c₁×p₂^c₂×p₃^c₃×⋯×p_t^c_i p_i为质数1​c​1​​​​×p​2​c​2​​​​×p​3​c​3​​​​×⋯×p​t​c​t​​​​，pip_ip​i​​ 为质数。

对于 100%的数据，1≤n≤10⁹,1≤m≤5,1≤p_i^c_i≤10⁵⁹​​,1≤m≤5,1≤p​i​c​i​​​​≤10​5​​。

最近一直在做CRT，乍一看还以为又是一个水题，实际上并没有那么简单。

是时候来总结一下中国剩余定理CRT，并且开启奇妙的扩展卢卡斯定理ex_lucas了。

审题，题意很简单，要求 Π_(i=1->m)C(n-∑_(j=1->i-1)w_j,w_j)%P

组合数取模，很容易想到卢卡斯定理。

然而根据题意，P并不一定是质数，普通卢卡斯定理只适用于质数。

怎么办呢？那么你觉得我所说的ex_lucas是干什么用的呢？

如果我们把P质因数分解，不就得到了质数吗？

我们只需要求出ans%p_i^k_i 然后再CRT解关于它们的余数方程，就好了呀。

　　简单介绍CRT：

　　　　对于余数方程xΞa_i(mod p_i) 其中p_i彼此互质。

　　　　设P=∏p_i，则最小自然数解x=(∑P/p_i*a_i*s_i)%P;其中s_i表示方程(P/p_i)*x+p_i*y=1的解。

　　　　证明略。而对于pi不互质的情况需要ex_CRT，十分恶心不再这里介绍了。

 1 //tim[i]即为pi，aans[i]即为a[i]，prr即为P
 2 int CRT(){
 3     int ans=0,x,y;
 4     for(int i=1;i<=nom;++i){
 5         ex_gcd(prr/tim[i],tim[i],x,y);
 6         x=(x%tim[i]+tim[i])%tim[i];
 7         ans=(ans+prr/tim[i]*aans[i]%prr*x%prr)%prr;
 8     }
 9     return ans;
10 }

CRT