OSG 四元数Quat - 爱码网

四元数是通过使用四个数来表达方位，其目的是避免旋转过程中的万向锁问题。所以在3D中，四元数的主要用途即是用于旋转。从数学意义上讲，四元数是扩展了复数系统，它使用三个虚部i,j,k，一个四元数[x, y, z, w]定义了复数w+xi+yj+zk。我们通过OSG中的Quat类来了解四元数的基本操作及应用

1. 数据定义

使用一维数组来保存数据 double _v[4]

2. 基本操作：与向量相同，主要的基本操作都用内联函数来实现

四元数的标题乘除运算

四元数的叉乘：

四元数的叉乘即可表示为两个四元数相乘（与复数相乘方法相同），但注意叉乘只满足律，不满足交换律

且四元数乘积的模＝模的乘积

设q为旋转四元数形式[cos(△/2), nsin(△/2)]，n为旋转轴，单位向量；△为旋转角，执行下面的乘法可以使3D点p绕n旋转 p’=qpq^-1

四元数乘法能用来连接多次旋转，与矩阵乘法效果一样。

四元数除四元数：OSG中表示为当前四元数乘以四元数的逆

四元数的加减

负四元数

四元数的模 Quat::length()

四元数的共轭 Quat::conj()

四元数的逆 Quat::inverse() = Quat::conj() / Quat::length2()

与旋转相关的操作：这部分是整个四元数最为关键的部分，其作用就体现于此，通过重载makeRotate()来实现四元数与矩阵和欧拉角的转换

四元数能被解释为角位移的轴――角对方式 q = (n_xsin(△/2), n_ysin(△/2),n_zsin(△/2), cos (△/2))

在OSG中，makeRotate()还实现是通过三个轴--角对来生成一个四元数的方法，是通过每个轴――角对生成一个四元数，然后叉乘三个四元数得到一个四元数。

makeRotate()还实现了获取将一个向量旋转到另一个向量的四元数，其关键是获取旋转角（向量点乘）和旋转轴（向量叉乘）。

将四元数转换为轴-角对

四元数插值—slerp：slerp是3D数学中四元数存在理由，它是球面线性插值的缩写(Spherical Linear Interpolotioin)，由此可看出其重要性。Slerp运算可以在两个四元数之间平滑插值，其运算避免了欧拉角插值的所有问题。

用四元数实现旋转向量：这个方法采用了nVidia SDK的实现方法

以上是OSG::Quat中实现的四元数的方法，但四元数还有其它的一些运算，也值得一提，所以将实现为四元数的外部函数

四元数求幂：该操作可以从角位移中抽取“一部分” Quat::pow()

单位四元数：Quat::normalize()

3. 实际应用

我们可以扩展一个标准的3D点(x,y,z)到四元数空间，通过定义四元数p=[0,(x, y, z)]即可。

4. 疑惑

makeRotate(const Vec3d& from, const Vec3d& to)中的算法不胜理解，makeRotate_original()方法的目的与算法也不太明白

nVidia SDK实现的旋转向量的方法并未理解

_v[0] = x * sinhalfangle * inversenorm;
_v[1] = y * sinhalfangle * inversenorm;
_v[2] = z * sinhalfangle * inversenorm;

代入上式，提取公因子sinhalfangle，可以发现正确。因为向量部分已经单位化了，所以可以直接得到时sin(angle/2)。事实上，_v[3]就是cos(angle/2),所以也可以
sin(angle/2) = sqrt(1 - _v[3]*_v[3]),_v[3]就是cos(angle/2),所以angle = 2 * acos(_v[3]),osg:: Quat中旋转角angle的得到比较迂回，它求得coshalfangle/sinhalfangle的反正切，即得angle的一半。求旋转轴的时候分别给_v[0],_v[1],_v[2]除以sinhalfangle得到单位化后的旋转轴。

四元数的运算法则：i*i = j*j = k*k = i*j*k = -1;
               ij = k; ji = -k;
               jk = i; kj = -i;
               ki = j; ik = -j;
大家可以用上面的法则推倒一下osg:: Quat中四元数的乘法，发现结果是正确的^^,乘法的时候，osg:: Quat是将实部放在最后一个分量_v[3]上的，有四元数的共轭：
inline Quat conj () const {  return Quat( -_v[0], -_v[1], -_v[2], _v[3] ); }可以进一步看出第四个分量是实部，欢迎讨论，批评指正。

[ 本帖最后由 array 于 2009-5-4 19:27 编辑 ]

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