背包详解 - 爱码网

背包问题是动态规划最基础的基础，这里本蒟蒻讲解一下几类背包问题。

01背包

题目

有N件物品和一个容量为V的背包，每种物品只有一个，放入第i件物品的费用是C_i，价值是W_i。

求将若干个物品装入背包得到的最大价值。（总费用不能超过总容量V）

解析

最基本的背包，每种物品只有一个，可放可不放。

很容易可以定义出状态F[i][j]表示前i件物品放入一个容量为j的背包的最大价值。

状态转移方程是F[i][j]=max(F[i-1][j],F[i-1][v-C_i]+W_i)(即不放与放)。

所以可以得到代码：

//F数组初值为0
for(int i=1;i<=N;i++)
{
    for(int j=0;j<C[i];j++)
        F[i][j]=F[i-1][j];
    for(int j=C[i];j<=V;j++)
        F[i][j]=max(F[i-1][j],F[i-1][j-C[i]]+W[i]);            
}

很显然时间复杂度已将无法优化了，考虑优化空间复杂度。

第二维显然无法舍去，考虑舍去第一维。

定义状态F[j]表示原来的F[i][j]，舍去的i将在循环中体现。

F[i][j]是由F[i-1][j]与F[i-1][j-C_i]推导出的，所以我们需要保证F[j]也是由它们推导而出。

事实上，如果我们逆着做j循环，即j从V到0循环，计算F[j]时，F[j-C_i]的值就是F[i-1][j-C_i]的值。

所以我们可以将其优化成一维数组。

关于F数组初值的问题：

如果要求恰好装满背包，那么初始化时F[0]=0，其它均为负无穷，因为除了容量为0的背包可以在什么都不装时价格为0，其它容量的背包都不行（即不合法）。

如果没有要求恰好装满背包，那么初始化时F数组全部为0，因为任何容量的背包都可以不装任何物品价格为0。

Code

//F数组初值为0
for(int i=1;i<=N;i++)
    for(int j=V;j>=C[i];j--)
        F[j]=max(F[j],F[j-C[i]]+W[i]

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