乘法逆元模板

1.乘法逆元定义：在wiki中也叫倒数，当然是% p 后的，其实就是倒数。如果ax≡1(mod p),且gcd（a，p）=1（a与p互质），则称a关于模p的乘法逆元为x。

在求解除法取模问题
即，除以一个数取模等于乘以这个数的逆元取模。

逆元求解一般利用扩欧。
当为质数的时候直接使用费马小定理，m非质数使用欧拉函数。
当为质数的时候，神奇的线性方法。

2.费马小定理：假如a是一个整数，p是一个质数，那么乘法逆元模板是a的倍数，可以表示为如果a不是p的倍数，也可以写成

3.拓展欧几里得：已知整数a，b，拓展欧几里得算法可以在求得a，b的最大公约数的同时，能找到整数x，y（其中一个很可能是负数），使它们满足贝祖等式乘法逆元模板

4.分析乘法逆元：ax≡1 (mod p) 这个等式用中文描述就是 a乘一个数x并模p等于1，即 a%p * x%p = res, res % p=1;看上去就是同余定理的一个简单等式 - -。那么问题来了。

5.为什么可以用扩展欧几里得求得逆元？我们知道模就是余数，比如12%5=12-5*2=2，18%4=18-4*4=2 那么ax ≡ 1(mod p)即 ax - yp =1.把y写成+的形式就是ax+py=1，为方便理解下面，我们把p写成b就是ax + by=1。就表示x是a的模b乘法逆元，y是b的模a乘法逆元。然后就可以用欧几里得求。

6.乘法逆元有什么用？做题时如果结果过大一般都会让你模一个数，确保结果不是很大，而这个数一般是1e9+7，而且这个数又是个素数，加减乘与模运算的顺序交换不会影响结果，但是除法不行。有的题目要求结果mod一个大质数，如果原本的结果中有除法，比如除以a,那就可以乘以a的逆元替代。（除一个数等于乘它的倒数，虽然这里的逆元不完全是倒数，但可以这么理解，毕竟乘法逆元就是倒数的扩展）。

拓展欧几里得求逆元代码：【时间复杂度为O(logn)】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

void exgcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y)
{
    if(!b) { d = a; x = 1; y = 0; }
    else{ exgcd(b, a%b, d, y, x); y -= x*(a/b); }
}

ll inv(ll a, ll p)
{
    ll d, x, y;
    exgcd(a, p, d, x, y);
    return d == 1 ? (x+p)%p : -1;
}

int main()
{
    ll a,p;
    while(1)
    {
        scanf("%lld %lld",&a,&p);
        printf("%lld\n",inv(a,p));
    }
}

拓展欧几里得