单调队列详解

单调队列

概念

顾名思义，单调队列就是在队列的基础上，维护一个单调的序列。

性质

队列中的元素其对应在原来的序列中的顺序必须是单调递增的。
队列中元素的大小必须是单调递(增/减/自定义)。

先来一道模板题来感受一下单调队列的应用：

模板题：滑动窗口

题目

【题目描述】

有一个长为

【输入格式】

输入一共有两行，第一行有两个正整数

8 3
1 3 -1 -3 5 3 6 7

【输出样例】

-1 -3 -3 -3 3 3
3 3 5 5 6 7

【数据规模】

对于

解析

单调队列模板题。

对于最小值来说，我们维护一个单调递增队列，

这是因为我们要让队列的头为该区间的最小值，那么后一个数要比头大，

因为是单调的，所以每一个进来的数，都应该比队列中的数大，所以是单调递增队列。

题目中还有一个限制条件,那便是窗口大小为k,所以我们要时刻维护队列中的数的下标大于当前下标减去k,

如果不满足该条件，就从队列头删去该数，可见单调队列是个双端队列，这也便是为什么不用栈的原因。

具体实现时，我们令head表示队列头+1,tail表示队列尾，

那么问题来了，为什么head要+1呢？

试想一下，如果head不+1,那么当head=tail时，队列中到底是没有数还是有1个数呢？显然无法判断。

所以我们令head的值+1，当head<=tail时，队列中便是有值的,如果head>tail，队列便为空。

我们用样例来模拟一下单调队列，以求最小值为例：

i=1，队列为空，1进队，[1]
i=2，3比1大，满足单调性，3进队，[1,3]
i=3，-1比3小，破坏单调性，3出队，-1比1小，1出队，队列为空，-1进队[-1]，此时i>=k，输出队头，即-1
i=4，-3比-1小，-1出队，队列为空，-3进队[-3]，输出-3
i=5，5比-3大，5进队，[-3,5]，输出-3
i=6，3比5小，5出队，3比-3大，3进队，[-3,3]，输出-3
i=7，-3下标为4，i-4=3，大于等于k，-3已不在区间中，-3出队，6比3大，6进队，[3,6]，输出3
i=8，7比6大，7进队，[3,6,7]，输出3

这样最小值便求完了，最大值同理，只需在判断时改变符号即可。

Code

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
const int N=1e6+500;
int n,k,a[N],q[N],head=1,tail;//head要+1 
int main()
{
    scanf("%d %d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        //求最小值 
        scanf("%d",&a[i]);
        while(head<=tail&&q[head]<=i-k) head++;//队头显然是最早进入的,如果队头的下标大于i-k,该数便不在区间内了,从队头删除 
        while(head<=tail&&a[q[tail]]>=a[i]) tail--;//当前数破坏了单调性,从队尾删除,直至队中数小于当前数
        q[++tail]=i;//当前元素进队 
        if(i>=k) printf("%d ",a[q[head]]);//输出每个区间最小值 
    }
    printf("\n");
    head=1,tail=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {    //求最大值 
        while(head<=tail&&q[head]<=i-k) head++;
        while(head<=tail&&a[q[tail]]<=a[i]) tail--;
        q[++tail]=i;//当前元素进队 
        if(i>=k) printf("%d ",a[q[head]]);
    }
    return 0;
}

View Code