一、关于二进制状态压缩
1.定义
二进制状态压缩，是指将一个长度为\(m\)的\(bool\)类型数组用一个二进制下有\(m\)位的整数表示并存储的方法。
2.应用范围
二进制状态压缩是状态压缩动态规划，宽度优先搜索状态压缩优化的重要基础。
二、二进制状态压缩的操作
我们在构建程序时一定要注意：
- 在\(m\)位二进制数中，最低位为第0位，从右到左位数依次增加，最高位为\(m-1\)位。
- 逻辑运算符，算术运算符存在优先级关系，如果不确定它们的优先级，建议增添
( )来保证程序的正确性。
运算符的优先级如下表所示：
二进制状态压缩的操作如下表所示：
当\(m\)较大时,我们还可以使用C++STL中的\(bitset\)实现：(定义一个长度为1000的二进制串n)
三、具体应用
例1：最短Hamilton路径
1. 题目描述：
给定一张n个点的无向图，求起点0~（n-1）的最短Hamilton路径。
Hamilton路径的定义是恰好完全经过从起点0到终点\(n-1\)的所有点一次。
2.输入样例：
4
0 2 1 3
2 0 2 1
1 2 0 1
3 1 1 0
3. 分析：
我们要求最短Hamilton路径，因此我们需要枚举所有的Hamilton路径，即这n个点的全排列，并计算该路径的长度。这种做法的时间复杂度是\(O(n\times n!)\)。
继续分析可以知道，我们需要记录哪些点已经走过，哪些点还没有走过。因为\(n\le 20\)，所以我们可以采用状压Dp来描述这个状态。\(f(sta，i)\)表示当前点为\(i\)，所有点走过状态\(sta\)时的最短路径长度。
转移方程的初始状态为\(f(1,0)=0\)，表示仅经过了起点0，结束状态为\(f((1<<n)-1,n-1)\)。
转移方程为：\(f(sta,i)=min(f(sta,i),f(sta~~xor~~(1<<i),k)+val(k,i))\)。
因为\(i\)只会经过一次，所以当\(i\)走过时一定是上一次刚刚经过的。当然，\(i\)也可以经过\(k\)而到达的，我们枚举所有的\(i\)，\(k\)并取最小值。
4. 代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,val[22][22],f[1<<22][22];
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
scanf("%d",&val[i][j]);
memset(f,63,sizeof(f));
f[1][0]=0;
for(int sta=1;sta<=(1<<n)-1;sta++)
for(int x=0;x<=n-1;x++){
if(!(sta>>x)&1) continue;
for(int y=0;y<=n-1;y++){
if(!(sta>>y)&1) continue;
f[sta][x]=min(f[sta][x],f[sta^(1<<x)][y]+val[y][x]);
}
}
printf("%d",f[(1<<n)-1][n-1]);
return 0;
}
例2：P2114 [NOI2014]起床困难综合症
1. 题目描述：
我们可以任选[0,m]的任意一个整数，现要找出在n次位运算后结果最大的一个整数。
2. 分析：
二进制下，位运算每一位的变化都是独立的。也就是说，最后结果的每一位只与对应选择的整数的对应位数有关。因此我们可以考虑按位处理，即每次选择第i位是1还是0，最后拼凑出最优的答案。在处理的时候要保证此时凑出的数在要求的范围内。
3. 代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,ans;
pair<string,int> d[1000010];
inline int calc_val(int pos,int val){
for(int i=1;i<=n;i++){
int loc=(d[i].second>>pos)&1;
if(d[i].first=="AND") val&=loc;
else if(d[i].first=="OR") val|=loc;
else if(d[i].first=="XOR") val^=loc;
}
return val;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1,t;i<=n;i++){
char ch[20];
scanf("%s%d",ch,&t);
d[i]=make_pair(ch,t);
}
int ori=0,ans=0;
for(int pos=30;pos>=0;pos--){
int re0=calc_val(pos,0),re1=calc_val(pos,1);
//re0为选择0后得到的答案，re1同理
if(ori+(1<<pos)<=m&&re1>re0) ans+=(re1<<pos),ori+=(1<<pos);
//此时选1没有超出范围，且选1更优
else ans+=(re0<<pos);//选0更优
}
printf("%d",ans);
return 0;
}