https://www.cnblogs.com/vive/p/4565282.html向量叉积定义的证明

前面写了一篇向量点积定义的证明，由于这个证明比较简单，所以也没有引起深入的思考。后来打算写一篇叉积的证明时，却发现有些东西真的不好理解。

设两个向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)，两向量夹角为θθ，很多教材包括维基百科(Cross Product)等给出的定义都是：

c=a×b=n|a||b|sinθc=a×b=n|a||b|sin⁡θ

 

其中nn是垂直于向量a,ba,b的单位向量，方向由右手法则确定。这样定义似乎没什么不妥，但是我在考虑一些问题：给出这个定义的数学家，他是怎么发现叉积的结果垂直于两向量？向量的模长为什么恰好等于|a||b|sinθ|a||b|sin⁡θ？下面给出我对这些问题的理解。

我想数学家们刚开始定义向量的叉乘运算(××)时，给出的唯一基本定义是：a×ba×b的结果cc是垂直于向量a,ba,b的一个向量，其方向由右手法则确定；如果向量a,ba,b平行，则叉积结果为零向量。有了这个定义，再根据乘法对加法的分配率，便可得到叉积运算的坐标表达式：

 

a×b===(x1i+y1j+z1k)×(x2i+y2j+z2k) x1i×(x2i+y2j+z2k)+y1j×(x2i+y2j+z2k)+z1k×(x2i+y2j+z2k) x1x2(i×i)+x1y2(i×j)+x1z2(i×k)+ y1x2(j×i)+y1y2(j×