前言
总结梳理常见曲线的参数方程；其中抛物线和双曲线的参数方程不要求掌握；参见曲线的方程与方程的曲线；
参数方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线\(C\)上任意一点\(P\)的坐标\(x\)、\(y\)都是某个变数\(t\)的函数：
并且对于\(t\)的每一个允许的取值，由方程组确定的点\((x, y)\)都在这条曲线\(C\)上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，联系变数\(x\)、\(y\)的变数\(t\)叫做参变数，简称参数。相对而言，直接给出点坐标间关系的方程 \(f(x,y)=0\) 叫普通方程。
例如在运动学，参数通常是“时间”，而方程的结果是速度、位置等。用参数方程描述运动规律时，常常比用普通方程更为直接简便。对于解决求最大射程、最大高度、飞行时间或轨迹等一系列问题都比较理想。有些重要但较复杂的曲线[例如摆线]，建立它们的普通方程比较困难，甚至不可能，有了参数方程，就可以很容易表达。
曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量 \(x\) 、\(y\) 间的间接联系 . 在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义 . 曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来对于曲线上任一点也必然对应着其中的参数的相应的允许取值.
求解步骤
求曲线参数方程的主要步骤：
第一步，画出轨迹草图，设 \(M(x，y)\) 是轨迹上任意一点的坐标 . 画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系.
第二步，选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标 \(x\)，\(y\) 与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是 \(x\)，\(y\) 的值可以由参数惟一确定.
第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略.
直线参数方程
直线的参数方程的形式不唯一，当选定的参数不一样时，参数方程的形式也就不一样了。
[方式1]：已知直线所过的定点\((x_0，y_0)\)和倾斜角\(\theta\)，则以定点到动点\((x，y)\)的有向线段的位移为参数，可知
直线的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=x_0+cos\theta\cdot t}\\{y=y_0+sin\theta\cdot t}\end{array}\right.\)
[方式2]：以定比分点为参数
[方式3]：以曲线\(M\)上的点与点\(O\)连线的斜率为参数，
分析：由\(\left\{\begin{array}{l}{x-2y+2=0(x>0)①}\\{y=kx②}\end{array}\right.\)
解方程，消去\(y\)，解得\(x=\cfrac{2}{2k-1}\)，代入②得到，\(y=\cfrac{2k}{2k-1}\)，由\(x=\cfrac{2}{2k-1}>0\)，得到\(k>\cfrac{1}{2}\)
故曲线\(M\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=\cfrac{2}{2k-1}}\\{y=\cfrac{2k}{2k-1}}\end{array}\right.\) (\(k\)为参数，\(k>\cfrac{1}{2}\))
圆参数方程
圆\((x-1)^2+(y-2)^2=4\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cos\theta}\\{y=2+2sin\theta}\end{array}\right.\quad\) (\(\theta\)为参数)
椭圆参数方程
椭圆\(\cfrac{x^2}{4^2}+\cfrac{y^2}{3^2}=1\)的的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=4cos\theta}\\{y=3sin\theta}\end{array}\right.\quad\) (\(\theta\)为参数)
抛物线参数方程
抛物线\(y^2=4x\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=4t^2}\\{y=4t}\end{array}\right.\quad\) (\(t\)为参数)
双曲线参数方程
双曲线\(\cfrac{x^2}{4^2}-\cfrac{y^2}{3^2}=1\)的的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=4sec\theta}\\{y=3tan\theta}\end{array}\right.\quad\) (\(\theta\)为参数)
典例剖析
解析：如图所示，若\(a>0\)，设点 \(P(x,y)\) ，由题取 \(|OP|=t\) 为参数，
则在 \(Rt\triangle OAP\)中，作 \(PM\perp OA\)于点 \(M\)，
则由射影定理得到，\(|OP|^2=OM\cdot OA\)，所以 \(t^2=x\cdot 2a\)，
即 \(x=\cfrac{t^2}{2a}\)；
又 \(AP=\sqrt{4a^2-t^2}\)，由等面积法可知， \(|OA|\cdot |PM|=|OP|\cdot |AP|\)，
即\(|PM|=\cfrac{t\cdot\sqrt{4a^2-t^2}}{2a}\)，又由于 \(y\) 有正负之分，
故所求的参数方程为 \(\left\{\begin{array}{l}x=\cfrac{t^2}{2a}\\y=\pm\cfrac{t}{2a}\sqrt{4a^2-t^2}\end{array}\right.\)
若 \(a<0\) ，同理可得。
分析：联立两直线方程得到，\(\left\{\begin{array}{l}3x+2y=6t\\3x-2y=\cfrac{6}{t}\end{array}\right.\)，
解以 \(x\)，\(y\) 为元的方程，得到 \(\left\{\begin{array}{l}x=t+\cfrac{1}{t}\\y=\cfrac{3}{2}(t-\cfrac{1}{t})\end{array}\right.\)，
即所求的点 \(P\) 的轨迹方程为 \(\left\{\begin{array}{l}x=t+\cfrac{1}{t}\\y=\cfrac{3}{2}(t-\cfrac{1}{t})\end{array}\right.\)，( \(t\) 为参数)
引申：如果此时还想知道点 \(P\) 的轨迹是什么曲线，可以考虑消去参数 \(t\)，比如，
由上可知， \(\left\{\begin{array}{l}x=t+\cfrac{1}{t}①\\\cfrac{2}{3}y=t-\cfrac{1}{t}②\end{array}\right.\)，
\(①^2-②^2\)，得到 \(x^2-\cfrac{4y^2}{9}=4\)，整理为 \(\cfrac{x^2}{4}-\cfrac{y^2}{9}=1\)，
即所求的轨迹为双曲线。
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设点 \(M(x,y)\)，取有向角 \(\angle ABO=\theta\) 为参数，
则 \(OA=a\cdot\sin\theta\) ，\(AH=a\cdot\cos\theta\) ，\(HM=a\cdot\sin\theta\) ，
即 \(x=OA+AH=a\cdot\sin\theta+a\cdot\cos\theta\)， \(y=a\cdot\sin\theta\) ，
故顶点 \(M\) 的轨迹的参数方程为 \(\left\{\begin{array}{l}x=a\cdot\sin\theta+a\cdot\cos\theta\\y=a\cdot\sin\theta\end{array}\right.\)，( \(\theta\) 为参数，\(0\leqslant\theta\leqslant\cfrac{\pi}{2}\) )
引申：上述题目如何消去参数呢？
由题目， \(\left\{\begin{array}{l}x=a\cdot\sin\theta+a\cdot\cos\theta ①\\y=a\cdot\sin\theta ②\end{array}\right.\)，
①-②得到， \(x-y=a\cos\theta\) ，又 \(y=a\cdot\sin\theta\) ，两式平方相加得到，
\((x-y)^2+y^2=a^2\)，整理得到，\(x^2-2xy+y^2=a^2\).
解析：利用物理意义可得，
点 \(M\) 的轨迹的参数方程可以直接写为 \(\left\{\begin{array}{l}x=1+9t \\y=1+12t \end{array}\right.\)，( \(t\) 为参数).