本文介绍模拟信号 \(x_a(t)\) 与数字信号 \(x(n)=x_a(nT)\) 二者的傅里叶变换的关系。
对于一个模拟信号 \(x_a(t)\)，以周期 \(T\) 对其进行理想采样可以得到采样信号
\(\hat{x}_a(t)=\sum\limits_{n}x(t)\delta(t-nT)\)
\(\hat{x}_a(t)\) 的频谱是 \(x_a(t)\) 的频谱的周期延拓
\(\hat{X}_a(j\Omega)=\frac{1}{T}\sum\limits_{k}X_a(j\Omega-jk\Omega_s)\)
通过 \(\hat{x}_a(t)\) 的定义也可以求得 \(\hat{X}_a(j\Omega)\) 的另一种展开式
\(\hat{X}_a(j\Omega)=\sum\limits_{n}x_a(nT)e^{-j\Omega nT}\)
定义数字信号 \(x(n)=x_a(nT)\)，则可以发现
\(\hat{X}_a(j\Omega)=\sum\limits_{n}x_a(nT)e^{-j\Omega nT}=\sum\limits_{n}x(n)(e^{j\Omega T})^{-n}=X(e^{j\Omega T})\)，其中 \(X\) 代表 \(z\) 变换
通过 \(\hat{X}_a(j\Omega)\)，我们建立了 \(x_a(t)\) 与 \(x(n)\) 的频谱的联系
\(X(e^{j\Omega T})=\frac{1}{T}\sum\limits_{k}X_a(j\Omega-jk\Omega_s)\)
再定义数字频率 \(\omega=\Omega T\)，则有
\(X(e^{j\omega})=\frac{1}{T}\sum\limits_{k}X_a(j\frac{\omega-2\pi k}{T})\)
参考文献：
《数字信号处理(第四版)》(高西全，丁玉美) 2.4节