题解 P4071 【[SDOI2016]排列计数】

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题目大意：问有多少个\(1-n\)的排列\(A\)恰好有\(m\)个数满足\(A_i=i\)

错排，计数

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分析：

首先我们选\(m\)个数有\(C_n^m\)种，那么我们要求答案合法就必须使得剩下的数都不满足\(A_i=i\)，也就是我们要求\(n-m\)个数错排的方案数，假设\(D_n\)表示\(n\)个数错排的方案数，我们的答案就是\(C_n^m\times D_{n-m}\)

关键是\(D\)的求法，对于一个位置\(n\)有两种可能，前\(n-1\)个位置都错了，前\(n-1\)个位置有一个是对的，这两种情况都可以通过一次交换得到全错排情况，其它情况不行

因此\(D_n=(n-1)\times(D_{n-1}+D_{n-2})\)

预处理一下阶乘及其逆元，和错排数\(D\)即可

注意当\(n=m\)时答案为\(1\)

#include <cstdio>
using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7,maxn = 1e6;
typedef long long ll;
ll D[maxn + 100],fac[maxn + 100],facinv[maxn + 100];
inline ll mul(ll a,ll b){return a * b % mod;}
inline ll qpow(ll a,ll b){
	ll res = 1,base = a % mod;
	while(b){
		if(b & 1)res = mul(res,base);
		base = mul(base,base);
		b >>= 1;
	}
	return res;
}
inline ll inv(ll x){return qpow(x,mod - 2);}
inline ll C(ll n,ll m){return mul(fac[n],mul(facinv[m],facinv[n - m]));}
inline void init(){
	fac[0] = 1,facinv[0] = 1;
	for(int i = 1;i <= maxn;i++){
		fac[i] = mul(fac[i - 1],i);
		facinv[i] = inv(fac[i]);
	}
	D[0] = D[2] = 1;
	for(int i = 3;i <= maxn;i++)
		D[i] = mul(i - 1,D[i - 1] + D[i - 2]);
}
int t,n,m;
int main(){
	init();
	scanf("%d",&t);
	for(int i = 1;i <= t;i++)
		scanf("%d %d",&n,&m),printf("%lld\n",mul(C(n,m),D[n - m]));
	return 0;
}