题目大意:求\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)\text{是素数}]\)
莫比乌斯反演
解析：
首先我们定义函数\(f(x) = \begin{cases}1 & \text{x是素数} \\ 0 & \text{其他情况}\end{cases}\)
我们要求的就是：
\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}f(gcd(i,j))\)
然后\(d \mid gcd(i,j) \Longleftrightarrow d | i,d|j\)
假设我们找到了一个函数\(g\)，满足：
\[f(x)=\sum_{d\mid x}g(x)
\]
那么
\[\begin{aligned} ans&=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\sum_{d\mid i,d\mid j}g(d) \\ &= \sum_{d=1}^{min(n,m)}g(d)\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[d \mid i][d \mid j] \\ &= \sum_{d=1}^{min(n,m)}g(d){\lfloor \frac{n}{d} \rfloor \lfloor \frac{m}{d} \rfloor}\end{aligned}
\]
假如我们预处理出\(g\)的前缀和，利用整除分块我们便可以快速求出整个式子的值
我们尝试着把\(g\)表示出来
\[f = g * 1 \Longleftrightarrow g = f * \mu
\]
\[\begin{aligned}g(x)&=\sum_{d \mid x}[x\text{是素数}]\mu(\frac{x}{d}) \\ &= \sum_{p \mid x}\mu(\frac{x}{p}) \quad \text{p是素数}\end{aligned}
\]
求\(g\)我们可以筛出\(\mu\)，然后枚举每一个素数，计算它的贡献
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e7 + 100;
int g[maxn],mu[maxn],vis[maxn];
inline int query(int a,int b){return g[b] - g[a - 1];}
vector<int> pri;
inline void init(){
mu[1] = 1;
for(int i = 2;i <= maxn;i++){
if(!vis[i]){
pri.push_back(i);
mu[i] = -1;
}
for(int x : pri){
if(i * x >= maxn)break;
vis[i * x] = 1;
if(i % x){
mu[i * x] = mu[i] * mu[x];
}else{
mu[i * x] = 0;
break;
}
}
}
for(int x : pri)
for(int i = 1;i * x < maxn;i++)
g[i * x] += mu[i];
for(int i = 1;i < maxn;i++)g[i] += g[i - 1];
}
int t,n,m;
inline void solve(){
cin >> n >> m;
ll ans = 0;
for(int l = 1,r;l <= min(n,m);l = r + 1){
r = min(n / (n / l),m / (m / l));
ans += (ll)query(l,r) * (n / l) * (m / l);
}
cout << ans << '\n';
}
int main(){
init();
cin >> t;
while(t--)solve();
return 0;
}