[算法]整除分块

应用场景

求

\[\sum_{i=1}^n\lfloor\frac{n}{i}\rfloor \]

算法讲解

我们通过模拟可以很轻松的做到\(\Theta(n)\)的效率求解
但是事实上我们可以做到\(\Theta(\sqrt{n})\)的复杂度
我们发现对于\(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)，有许多值其实是一样的
然后我们发现对于每一个值相同的块，它的最后一个数是\(n/(n/i)\)
于是就可以在\(\Theta(\sqrt{n})\)的复杂度内求出答案啦

代码

for (int l = 1, r; l <= n; l = r + 1){
    r = n / (n / l);
    ans += (r - l + 1) * (n / l);
}

实际应用

在莫比乌斯函数等数论题中用于简化时间复杂度