题解 P3601 【签到题】

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题目大意：定义\(qiandao(n)=\sum_{i=1}^{n}[gcd(i,n)\neq1]\)，求\(\sum_{i=l}^rqiandao(i)\)，其中\(l,r\leq 10^{12},r-l \leq 10^6\)

数论

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分析：首先\(qiandao(n)=n-\varphi(n)\)

所以我们考虑咋把\(\sum_{i=l}^{r}\varphi(i)\)求出来

把\([l,r]\)内每个数利用唯一分解定理分解，由于一个数\(n\)分解后的指数之和不会超过\(log_2n\)，所以我们只需要求出这个数有哪些质因子，然后暴力求\(\varphi\)即可

我们筛出\([1,\sqrt{10^{12}}=10^6]\)内的所有质数，对于每个质数，将它在\([l,r]\)内的所有倍数打上标记

根据神欧拉给出的结论，这个的时间复杂度是\(nlogn\)级别的

于是我们得到了\([l,r]\)内每个数\(x\)，小于\(\sqrt{x}\)的质因子，将它们的幂次全部除掉，得到的数如果不是\(1\)，那它一定是一个大于\(\sqrt{x}\)的质因子，我们得到了\(x\)的所有质因子

然后愉快的求\(\varphi\)即可

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e6 + 100,mod = 666623333;
inline ll add(ll a,ll b){return (a + b) % mod;}
bool vis[maxn];
vector<int> pri;
inline void sieve(){
	for(int i = 2;i < maxn;i++){
		if(!vis[i])pri.push_back(i);
		for(int x : pri){
			if(1ll * x * i >= maxn)break;
			vis[i * x] = 1;
			if(i % x == 0)break;
		}
	}
}
ll l,r,ans;
vector<int> vec[maxn];
int main(){
	sieve();
	cin >> l >> r;
	for(int p : pri){
		for(ll now = ceil((long double)l / p) * p;now <= r;now += p)
			vec[now - l].push_back(p);
	}
	for(ll now = l;now <= r;now++){
		ll tmp = now,phi = 1;
		for(int p : vec[now - l]){
			phi *= p - 1;
			tmp /= p;
			while((tmp % p) == 0){
				phi *= p;
				tmp /= p;
			}
		}
		if(tmp != 1)phi *= tmp - 1;
		ans = add(ans,now - phi);
	}
	cout << ans << '\n';
	return 0;
}