[CF919E] Congruence Equation - 费马小定理

Description

给定整数 \(x\)，求有多少个正整数 \(n\) 满足 \(1 \le n \le x\) 且 \(na^n \equiv b \bmod p\)，\(p \le 10^6 + 3\) 且是一个质数，\(x \le 10^{12}\)。

Solution

\(n\) 因子的循环周期为 \(p\)，\(a^n\) 因子的循环周期为 \(p-1\)

（由于模质数乘法构成循环群满足消去律，其运算表的任意行列为元素全排列）

\[n \equiv ba^{-n} (\bmod p) \]

枚举 \(n\)，设 \(\delta = n-ba^{-n} \bmod p\)，则 \(n'=n+(p-1)\delta\) 才是第一个正确的 \(n\)

于是这一步贡献 \([\frac {x-n'} {p(p-1)}]\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
const int N = 1000005;

int a,b,mod,x,ans;

int qpow(int p,int q)
{
    return (q&1 ? p : 1) * (q ? qpow(p*p%mod,q>>1) : 1) % mod;
}

int inv(int p)
{
    return qpow(p, mod-2);
}

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);

    cin>>a>>b>>mod>>x;
    for(int i=1;i<=min(x,mod-1);i++)
    {
        int n=i+(mod-1)*((i-b*inv(qpow(a,i))%mod+mod)%mod);
        if(x>=n) ans+=(x-n)/(mod*(mod-1))+1;
    }
    cout<<ans<<endl;
}