既然是一篇重点在于介绍、分析一个模板的Blog，作者将主要分析其原理，可能会比较无趣……（提供C++模板）
另外，给reader们介绍另外一篇非常不错的Blog(我就是从那篇博客开始自学LCA的)：+LCA-by 殇雪+
一、原理
LCA即最近公共祖先，一般用LCA(u,v)表示u、v的最近公共祖先。举个例子：
（Tab：以下“树”均指有根树）由于在树中，除根节点的每个节点都有且仅有一个父节点，我们很容易得到一个结论——u,v的最近公共祖先的任意祖先一定也是u,v的公共祖先。假设x是u,v的公共祖先，LCA(u,v)≤x。倍增求LCA的基础是 2进制能够表示任意整数 。所以令u,v的最近公共祖先与u、v分别距离lu、lv，并可以将其表示成2进制。
设 dfu[v][k] 表示 节点v向上寻找到的第2k代祖先（比如之前的图中，dfu[4][1]=1），dep[v] 表示 v的深度（根节点的深度依照题目定为1或0）。
不妨设 dep[v]>dep[u] 。首先要使u、v同层，即dep[u]=dep[v]，可以通过将v上移到它的 dep[u]-dep[v] 代祖先来实现，再将dep[v]-dep[u]转为2进制，就可以通过dfu实现。
u、v同层后，设它们距离最近公共祖先l个单位。同样，l也可以表示为2进制，也就可以通过dfu解决。
由于每一次移动都是在2进制下进行，求LCA的复杂度大约可看为 O(log2n)。
二、算法实现
①大致步骤：
初始化： DFS初始化每个点v的dep[v]以及直接父亲（dfu[v][0]）；
递推计算全部dfu；
计算LCA： 上移u、v至同一层；
同时上移u、v找最近公共祖先；
②初始化：
DFS可以通过参数下传父亲节点以及节点深度（eg:void DFS(int u,int fa,int depth)）。（建议用邻接表的方式）遍历每一个儿子，同时初始化。
根据dfu定义，dfu[v][i+1]表示v的第2i+1代祖先，也就是第(2i+2i)代祖先。则可以先找到v的第2i代祖先u，再找到u的第2i代祖先。递推式如下：
dfu[v][i+1]=dfu[dfu[v][i]][i]; //dfu[v][i]表示v的第2i代祖先
由于递推过程中，dfu[v][i]已经计算出来了，我们就可以从dfu[v][0]出发推出所有dfu。
③计算LCA(u,v)
为了方便计算，先保证dep[v]>dep[u]。
要将u、v移动到同层，即把v上移(dep[u]-dep[v])层。由于我们知道v的2k代祖先，我们可以把dep[u]-dep[v]拆分成 2a1+2a2+...+2ap（C++实现可以判断 (dep[v]-dep[u])>>i&1，即2进制的(dep[v]-dep[u])的第i位是否为1），按次上移即可。
如果此时u=v，则说明最初u是v的祖先，则LCA(u,v)=u。
除开上述u=v的情况。由于 LCA(u,v) 的祖先一定也是u,v的公共祖先，所以我们可以将u、v上移到LCA(u,v)的下一层，即u,v的父亲为LCA(u,v)。从高到低枚举i（i最大为ceil(log2(n))，即退化为链后根与叶子节点），如果dfu[u][i]==dfu[v][i]，则说明dfu[u][i]已经是LCA(u,v)或层数已经高于LCA(u,v)了，由于无法直接判断是否是LCA(u,v)，我们就可以选择不上移（目标是将u,v转移到LCA(u,v)的下一层）；如果dfu[u][i]!=dfu[v][i]，则说明还没有到LCA(u,v)，就可以上移。最后就可以移动到LCA(u,v)的下一层。
其实上述操作无非是令u,v到LCA(u,v)的距离为S，将S-1表示为2进制，再通过dfu顺次上移。最后得到dfu[u][0]（或者dfu[v][0]）就是LCA(u,v)了。
三、C++代码
初始化：
1 void DFS(int u,int fa,int depth) 2 { 3 dfu[u][0]=fa;dep[u]=depth; //更新v的父节点以及深度 4 for(int i=0;i<lnk[u].size();i++) //lnk是vector的邻接表 5 DFS(lnk[u][i],u,depth+1); 6 } 7 void Prepare() 8 { 9 DFS(0,-1,1); //先处理出节点的深度(dep)和直接祖先(dfu[0]) 10 for(int i=0;i+1<20;i++) 11 for(int j=0;j<n;j++) 12 if(dfu[j][i]<0) dfu[j][i+1]=-1; //上移位置已经超过根节点 13 else dfu[j][i+1]=dfu[dfu[j][i]][i]; 14 }