[LOJ6217] 扑克牌 - 结论,dp

Description

给定一摞扑克牌，共 \(n \le 1000\) 张，每张牌有两个属性 \(a_i,b_i \le 1000\)。可以无限次进行以下两种操作：①对于堆顶的牌 \((a,b)\)，从上到下扔掉 \(a\) 张牌，得分 \(+b\)；②将牌堆顶的牌放到底部。求能获得的最大得分。

Solution

连续拿走若干张牌的条件，和随意拿走若干张牌，其实是等价的。

证明：反证法，考虑不等价，即连续拿走 \(x\) 时必须拿走 \(y\)，但是 \(y\) 是想要另拿的。此时若我们可以先把 \(y\) 拿掉则矛盾。若我们不可以先拿走 \(y\)，那么一定有 \(a_x+a_y >n\)，则此时不可能在不连续情况下另拿 \(y\)，故矛盾。

于是问题转化为，总空间为 \(n\) 的背包，每种物品占用空间 \(a_i\)，价值为 \(b_i\)，求最大价值。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
const int N = 1005;

int n,a[N],b[N],f[N];

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);

    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>a[i]>>b[i];
    }

    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=n;j>=a[i];j--)
        {
            f[j]=max(f[j],f[j-a[i]]+b[i]);
        }
    }

    cout<<*max_element(f,f+n+1);
}