[LOJ544] Array Poisonous Suffix Problem - 构造,后缀数组

Description

给定 \(k\)，要找到一个最小的正整数 \(n\) 使得存在 \(1 \sim n\) 的一个全排列，它不是任何一个字符集大小不超过 \(k\) 的字符串的后缀排名数组。输出 \(n\) 以及一个合法的全排列。

Solution

神仙构造。整体思路是让奇偶位的顺序颠倒。

举个例子，\(k=5\) 时，我们取 \(n=6\)，则

sa[] = {5, 3, 1, 2, 4, 6}
rk[] = {3, 4, 2, 5, 1, 6}

考虑所有后缀的首位，显然至少有两个是相等的，并且它们一定可以是在后缀排序中相邻的。

假如 \(a[5]=a[3]\)，则根据 \(s[5:]<s[3:]\)，一定有 \(s[4:]<s[6:]\)，但由已知 \(s[6:]<s[4:]\)，矛盾。

以此类推，即可证明正确性，即总是存在一个 \(1 \to k+1\) 的全排列，使得它不是任意一个字符集大小不超过 \(k\) 的字符串的后缀排名数组。

考虑最小性，对于 \(n=k\)，显然我们可以随意构造，同理可知 \(n \le k\) 均不可。

综上，\(n=k+1\)，构造方式即类似 rk[] = {3, 4, 2, 5, 1, 6} 这样的操作。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100005;
int n,k,a[N];
signed main()
{
    cin>>k;
    n=k+1;
    cout<<n<<endl;
    int i=n,x=1,y=n;
    while(i>0)
    {
        a[i--]=y--;
        a[i--]=x++;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) cout<<a[i]<<" ";
}