[CF1407D] Discrete Centrifugal Jumps - dp,单调栈

Description

给定一个序列，每次可以从 \(i\) 跳到 \(j (>i)\) 当且仅当满足以下三个条件之一：

• \(i+1=j\)

• \(\max(h[i+1,j-1])<\min(h_i,h_j)\)

• \(\min(h[i+1,j-1])>\max(h_i,h_j)\)

求从下标为 \(1\) 的位置跳到下标为 \(n\) 的位置花费的最小步数。

Solution

考虑 dp，设 \(f_i\) 表示跳到第 \(i\) 个格子的最小步数，那么很显然 \(f_i\) 序列一定是单调的，这是由第一个转移条件保证的。

先考虑第二个条件，分析 \(i\) 状态可以从哪些状态转移过来。

维护一个单调递减的栈，那么有且仅有加入 \(i\) 的弹栈过程中经历的所有栈顶是合法的 \(j\)。

所以我们只需要在加入 \(i\) 的过程中，对每次弹栈后的栈顶 \(j\)，做一次 \(j \to i\) 的转移即可。

对第三个条件也是同理的。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long 
const int N = 1000005;

int n;
int a[N],f[N];
int staAsc[N],topAsc,staDec[N],topDec;

signed main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];

    f[0]=1e9;
    f[1]=0;

    staAsc[++topAsc]=1;
    staDec[++topDec]=1;

    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        f[i]=f[i-1]+1;

        while(topAsc && a[staAsc[topAsc]]>=a[i])
        {
            --topAsc;
            if(a[staAsc[topAsc+1]]==a[i]) continue;
            f[i]=min(f[i], f[staAsc[topAsc]]+1);
        }
        staAsc[++topAsc]=i;

        while(topDec && a[staDec[topDec]]<=a[i])
        {
            --topDec;
            if(a[staDec[topDec+1]]==a[i]) continue;
            f[i]=min(f[i], f[staDec[topDec]]+1);
        }
        staDec[++topDec]=i;
    }
    
    cout<<f[n]<<endl;
    return 0;
}